《北京市第四中学届高三上学期期中考试理科数学试题（2020年整理）.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市第四中学届高三上学期期中考试理科数学试题（2020年整理）.pptx（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京四中 20162017 学年度第一学期期中测试 高三数学 期中试卷（理） （试卷满分：150 分考试时间：120 分钟） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.） 1已知全集U 1, 2,3, 4,集合 A 1, 2,则U A ,2设命题 p : n N, n2 2n ，则p 为,10,3为了得到函数 y lg x 3 的图象，只需把函数 y lg x 的图象上所有的点,x y 0 ，,x 0 ，,4若 x ， y 满足x y 1， 则 z x 2 y 的最大值为,1,5等比数列an 满足a1 3, a1 a3 a5 21, 则a3 a5 a7 ,6已知 x R ，则“
2、”是“ sin(x ) sin x ”的,7定义在R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x 1) f (x) ，且在区间1,0上单调递增，设 a f (3)， b f ( 2) ， c f (2) ，则a,b,c 大小关系是,8.已知函数 f (x) , ln(x 1),x 0,x2 2x,x 0,，若 f (x) ax ，则实数a 的取值范围是,二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.）,1 i,9设是虚数单位，则1 i .,10执行如图所示的框图，输出值 x . 11若等差数列an 满足a7 a8 a9 0 ，a7 a10 0 ， 则当n 时，an 的前n 项和最大 12
3、已知 f (x) 是定义在R 上的奇函数.当 x 0 时， f (x) x2 4x ，则不等式 x f (x) 0 的解集为 .,要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方 体容器已知该容器的底面造价是每平方米 200 元， 侧面造价是每平方米 100 元，则该容器的最低总造 价是 元 已知函数 y f ( x) ，任取t R ，定义集合: At y | y f ( x) ，点 P(t, f (t) ， Q( x, f (x) 满足| PQ |,2.,设 Mt , mt 分别表示集合 At 中元素的最大值和最小值，记h(t) Mt mt .则 (1) 若函数 f ( x) x ，则h
4、(1) = ；, 2 ,（2）若函数 f (x) sin x ，则h(t) 的最小正周期为.,2,三、解答题（共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15（本题满分 13 分）,2,集合 A x | x2 3x 2 0， B x | 1 2x1 8 ， C x | (x 2)(x m) 0，,其中m R . （）求 AB ； （）若(AB) C ，求实数m 的取值范围. 16（本题满分 13 分） 已知an 是等差数列，满足 a1 3 ， a4 12 ，数列bn 满足b1 4 ， b4 20 ，且 bn an 是等比数列 （）求数列an 和bn 的通项公式； （
5、）求数列bn的前n 项和Sn 17（本题满分 13 分）,3,6 ,已知函数 f (x) 4sin x cos x , x R .,（）求函数 f (x) 的单调减区间；,2 ,（）求函数 f (x) 在0, 上的最大值与最小值.,18（本题满分 13 分）,已知函数 f (x) ln(ax 1) 1 x x 0 ，其中a 0 .,（）若a 1，求,1 x 的单调区间；,（）若的最小值为 1，求a 的取值范围. 19（本题满分 14 分）,x,b ,x , ,设函数 f (x) a ln x e ，曲线 y f (x) 在点 P 1, f 1处的切线方程为,y e(x 1) 2. （）求a,b
6、 ；,（）设 g(x) xe x 2 x 0 ，求 g(x) 的最大值；,e （）证明函数 f (x) 的图象与直线 y 1没有公共点.,20（本题满分 14 分）,M,1, x M,对于集合 M ， 定义函数 f (x) 1, x M ,. 对于两个集合 M, N ， 定义集合,M N x fM (x) fN (x) 1. 已知 A = 2, 4,6,8,10， B = 1, 2, 4,8,16. （）写出 f A (1) 和 fB (1) 的值，并用列举法写出集合 AB ； （）用Card(M ) 表示有限集合M 所含元素的个数，求Card(X A) Card(X B) 的最 小值；,（）
7、有多少个集合对 P, Q ，满足 P,Q A,B ，且(PA)(QB) AB ？,4,参考答案,一选择题（每小题 5 分，共 40 分）,二选择题（每小题 5 分，共 30 分）,2,15. 解：（） A x | x2 3x 2 0 1, 2 ； B x | 1 2x1 8 0, 4 ；,所以 A,B 1, 2 ；,（） A,B 0, 4 ，,若m 2 ，则C 2, m ，若 A 若m 2 ，则C ，不满足 A,B 0, 4 C ，则m 4 ； B 0, 4 C ，舍；,B 0, 4 C ，舍；,若m 2 ，则C m, 2 ，不满足 A 综上m4, .,16. 解：（）设等差数列an 的公差为
8、d ，由题意得 d a4 a1 12 3 3. 33,n1,所以a a (n 1)d 3n, n N ,设等比数列bn an 的公比为q ，由题意得,b1 a14 3,q3 b4 a4 20 12 8 ，解得q 2 .,nn11,n1n1,所以b a b a q 2.,nn,从而b a 2n1 3n 2n1, n N ,n,（）由（）知b 3n 2n1, n N ,Sn b1 b2 b3 bn (3 20 ) (6 21 ) (9 22 ) (3n 2n1)2n1 (3 6 9 3n) (20 21 22 2n1),5, n(3 3n) 1 2n 21 2 3 n2 3 n 2n 1 22,
9、,n,3,3,22,2n,所以，数列 b的前n 项和为n n 2 1.,6 ,2, 2,17. 解： f (x) 4sin x cos x 4sin x 3 cos x 1 sin x 2 3 sin xcos x 2sin2 x,226, 3 sin 2x cos 2x 1 2( 3 sin 2x 1 cos 2x) 1 2sin(2x ) 1.,26263,（）令 2k 2x 3 2k , k Z ，解得 k x 2 k ，,63,2,所以函数 f (x) 的单调减区间为k +, k , k Z .,266626,（）因为0 x ，所以 2x 7 ，所以 1 sin(2x ) 1 ，,6,
10、于是 1 2sin(2x ) 2 ，所以2 f (x) 1.,当且仅当 x 时 f (x) 取最小值 f (x) f ( ) 2 ; 2min2,max,当且仅当2x ，即 x 时最大值 f (x) f ( ) 1. 6266,a2ax2 a 2,18. 解:定义域为0, . f (x) ,ax 1(1 x)(ax 1)(1 x),. 22,x2 1,（）若a 1，则 f (x) ,(x 1)(1 x)2,，令 f (x) 0 ，得 x 1 （舍1）.,所以a 1时， f (x) 的单调增区间为(1, ) ，减区间为(0,1) .,（） f (x) ,6,ax2 a 2 (ax 1)(1 x)
11、2,， x 0, a 0, ax 1 0.,当a 2 时，在区间(0, )上，f (x) 0, f (x) 在1, 单调递增，所以 f (x)的最小值为f (0) 1;,a,a,2 a ,当0 a 2 时，由 f (x) 0解得x 2 a ,由f (x) 0解得x ,所 以,在,处取得最小值，注意到,，所以不满足,综上可知，若得最小值为 1，则 a 的取值范围是 19. 解：（I）函数f (x)的定义域为(0,+),x,x,x,b ,b ,b a b,f (x) a ln x e a ln x e a ln x e .,x ,x xx2,x ,e,由题意可得f (1) 2, f (1) e.故
12、a 1, b 2 .,（） g(x) xe x 2 ,则g (x) e x (1 x) .,e,e 所以当x (0,1)时g(x) 0;当x (1, )时，g(x) 0.故g(x)在（0,1）单调递增，,在(1,+)单调递减，从而g(x)在(0, )的最大值为g(1) 1 .,x,（）由（I）知f (x) ex ln x 2 ex1, 又 f (1) e ln1 2e0 =2 1, 于是函数 f (x) 的图象与,e,直线 y 1没有公共点等价于 f (x) 1。而f (x) 1等价于x ln x xe x 2 .,设函数h(x) x ln x,则h(x) ln x 1.,ee,所以当x (0
13、, 1)时，h(x) 0;当x 1,( , )时，h(x) 0.,1,1,1,ee,ee,h( ) .,故h(x),在（0, ）单调递减，在（1 , ）单调递增，从而h(x)在(0,+)的最小值为,由,（）知综上，当x 0时，h(x) g(x),即f (x) 1. 20.解：（） fA (1)=1， fB (1)= -1， AB 1,6,10,16. （）根据题意可知：对于集合C, X ， a C 且a X ，则Card(C(Xa) Card(CX ) 1；,7,若a C 且a X ，则Card(C(Xa) Card(CX ) 1. 所以 要使Card(X A) Card(X B) 的值最小，
14、2，4，8 一定属于集合 X ；1，6，10，,B 之外的元,16 是否属于 X 不影响Card(X A) Card(X B) 的值；集合 X 不能含有 A 素. 所以 当 X 为集合1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时， Card(X A) Card(X B) 取到最小值 4. （）因为 AB x fA (x) fB (x) 1 ， 所以 AB BA . 由定义可知： fAB (x) fA (x) fB (x) .,所以 对任意元素 x ， f( AB)C (x) f AB (x) fC (x) f A (x) fB (x) fC (x) ， f A( BC ) (x) f A (x) fBC (x) f A (x) fB (x) fC (x).,所以,f( AB)C (x) f A( BC ) (x) .,所以 (AB)C A(BC) . 由 (PA)(QB) AB 知： (PQ)(AB) AB . 所以 (PQ)(AB)(AB) (AB)(AB) . 所以 PQ . 所以 PQ ，即 P = Q . 因为 P,Q AB ， 所以 满足题意的集合对 P, Q 的个数为27 128.,8,
