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1、第五章 平面向量与复数第一节 平面向量的概念及其线性运算1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)
2、结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0( a)()a；()aa a；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba.小题体验1(教材习题改编)化简：(1)()_；(2) _.答案：(1)(2)02已知a与b是两个不共线的向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.答案：3.(教材习题改编)如图，设ABC三条边的中线AD，BE，CF相交于点G，则下列三个向量：，中，等于零向量的
3、是_(填序号)解析：中，原式0.中，原式0.中，原式()0.所以三个向量中等于零向量的是.答案：1在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误2在向量共线的重要条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个3要注意向量共线与三点共线的区别与联系小题纠偏1已知a，b是任意向量，下列条件中可推得a与b共线的有_(填序号)ab，|a|b|，a与b方向相反，a0或b0，a，b都是单位向量解析：由向量共线的定义知填.答案：2对于向量a与b，下列说法正确的是_(填序号)如果a与b共线，则ab或ab；如果a与b共线，则a与b平行；如果a与b共线，则存在实数，使得ab.解析
4、：a与b共线不能确定其长度关系，故错误；当a0而b0时，这样的不存在，故错误；向量平行和共线是相同的概念，故正确答案：3若菱形ABCD的边长为2，则| |_.解析：|2.答案：2 题组练透1下列说法正确的是_平行向量的方向一定相同；与任意向量都平行的向量一定是零向量；相等的向量一定是平行向量；共线向量一定在同一条直线上. 解析：平行向量的方向也可能相反，所以错误；只有零向量与任意向量都平行，所以正确；显然正确；共线向量只要方向相同或相反即可，不一定在同一条直线上，所以错误答案：2下列命题中正确的是_若ab，则|a|b|；若|a|b|，则a0)，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1
5、)b.a，b是不共线的两个非零向量，解得或又0，k1.由题悟法共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值提醒证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点即时应用如图，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线解：(1)延长AD到G，使，连结BG，CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)证明：由(1)可知，
6、又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2016苏州测试)在ABC中，已知M是BC中点，设a，b，则_.解析：ba.答案：ba2在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是_解析：由已知，得8a2b2(4ab)2，故.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形答案：梯形3已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若20，则向量_.(用，表示)解析：因为，所以22()()20，所以2.答案：2 4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.解析：因为ABCD为平行四边形，所以2，已知，故2.答案：25设点M是线段BC的
7、中点，点A在直线BC外，216，|，则|_.解析：由| |可知，则AM为RtABC斜边BC上的中线，因此，|2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1(2016南通中学月考)设O是ABC的外心，则，是_(填序号)相等向量；模相等的向量；平行向量；起点相同的向量解析：由题意，知点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以，是模相等的向量显然，的起点不同且方向均不相同，故填.答案：2已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但ab与c共线，且bc与a共线，则向量abc_.解析：依题意，设abmc，bcna，则有(ab)(bc)mcna，即acmcna.又a与c不共线，于是有m1，n1，abc，abc0.
8、答案：03在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析：由3，得433(ab)，ab，所以(ab)ab.答案：ab4(2016启东中学月考)在边长为1的正方形ABCD中，设a，b，c，则|abc|_.解析：如图所示，abc22a，|abc|2.答案：25设O在ABC的内部，D为AB的中点，且20，则ABC的面积与AOC的面积的比值为_解析：D为AB的中点，则()，又20，O为CD的中点，又D为AB中点，SAOCSADCSABC，则4.答案：46设M是ABC所在平面上的一点，且0，D是AC的中点，则的值为_解析：D是AC的中点，延长MD至E，使得DEMD，四边形MAEC为平行四边形，()0，()3，.答案：7若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|2|，则ABC的形状为_解析：2，|.故，ABC为直角三角形答案：直角三角形8已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正
