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1、2.2.4 点到直线的距离示范教案教学分析点到直线的距离的公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富除了本节课探究方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想、化归思想和分类方法，由浅入深、由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维三维目标1让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离，培养转化的数学思想2引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓
2、励创新重点难点教学重点：点到直线距离公式的推导和应用教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立课时安排1课时导入新课设计1.点P(0,5)到x轴的距离是多少？更进一步，在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0，y0)，直线l的方程是AxByC0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？教师引出课题设计2.我们知道点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点不在直线上，当点不在直线上时，怎样求出该点到直线的距离呢？教师引出课题推进新课(1)设坐标平面上(如下图)，有点P(x1，y1)和直线l：AxByC0(A2B20)作直线m通过点P(x1，y1)，并且与直线l垂直，设
3、垂足为P0(x0，y0)求证：B(x0x1)A(y0y1)0；CAx0By0.(2)试求出(x1x0)2(yy0)2.(3)写出点P到直线l的距离d的计算公式(4)写出求点P(x1，y1)到直线AxByC0的距离的计算步骤讨论结果：(1)证明：设直线m的方程为BxAyD0，P(x1，y1)在m上，Bx1Ay1D0，DAy1Bx1，直线m的方程为BxAy(Ay1Bx1)0，即B(xx1)A(yy1)0.B(x0x1)A(y0y1)0.P0(x0，y0)在直线l上，P0(x0，y0)的坐标是方程AxByC0的一组解，Ax0By0C0，CAx0By0.(2)Ax1By1CAx1By1(Ax0By0)
4、A(x1x0)B(y1y0)，则A(x1x0)B(y1y0)2(Ay1By1C)2，又B(x0x1)A(y0y1)20，两等式相加，得(A2B2)(x1x0)2(y1y0)2(Ax1By1C)2，(x1x0)2(y1y0)2.(3)求点P到直线l距离转化为求P和P0两点之间的距离的问题由距离公式，只要列出关于x1x0，y1y0的两个方程，就可求出这两点的距离d.则d|PP0|.即d.(4)步骤：给点的坐标赋值：x1？，y1？；给A，B，C赋值：A？，B？，C？；计算d；给出d的值思路1例1求点P(1,2)到直线2xy5的距离d.解：将直线方程化为一般式：2xy50.因为x11，y12，A2，B
5、1，C5，所以由点到直线的距离公式，得d.变式训练1求原点到直线l1：5x12y90的距离；答案：2求点P(1，2)到直线l2：x2y100的距离答案：3例2(1)求证：两条平行线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离是d；(2)求平行线l1：12x5y80与l2：12x5y240之间的距离分析：两条平行线的距离，就是其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离解：(1)在l1上任取一点P(x1，y1)，则Ax1By1C1.l1与l2之间的距离等于点P到l2的距离d；(2)由(1)所得公式，直线l1与l2的距离为d.即平行线l1与l2之间的距离是.点评：利用公式d求两平行直线
6、间的距离时，必须将这两条直线方程化为含x与y的系数分别相等的形式，否则容易出错变式训练1两平行直线l1：2x7y80和l2：2x7y60的距离d_.答案：2两平行直线l1：3x5y20和l2：6x10y80的距离d_.答案：思路2例3求直线2x11y160关于点P(0,1)对称的直线方程分析：中心对称的两条直线是互相平行的，并且这两条直线与对称中心的距离相等解：设所求直线方程为2x11yC0，则C16(舍去)或C38.所求直线为2x11y380.点评：解决本题的关键是明确所求直线与已知直线平行变式训练1已知直线l过两条直线3x4y50,2x3y80的交点，且与A(2,3)，B(4,5)两点的距
7、离相等，求直线l的方程解：直线3x4y50,2x3y80的交点为(1,2)若直线l平行于直线AB，易求得直线l的方程为x3y50；若直线l通过线段AB的中点，易求得直线l的方程为x1.所以直线l的方程为x1或x3y50.2两平行直线l1，l2分别过A(1,0)与B(0,5)若l1与l2的距离为5，求这两直线方程解：|AB|5，显然，直线l1，l2均不与x轴垂直设l1的方程为yk(x1)，即kxyk0，则点B到l1的距离为5，所以k0或k.l1的方程为y0或5x12y50，可得l2的方程为y5或yx5.故所求两直线方程分别为l1：y0，l2：y5；或l1：5x12y50，l2：5x12y600.
8、1求点P0(1,2)到下列直线的距离：(1)2xy100；(2)3x2.解：(1)根据点到直线的距离公式，得d2.(2)因为直线3x2平行于y轴，所以d|(1)|.2已知点A(1,3)，B(3,1)，C(1,0)，求ABC的面积解：设AB边上的高为h，则SABC|AB|h.|AB|2.AB边上的高h就是点C到AB的距离，AB边所在直线方程为，即xy40.点C到xy40的距离为h，因此，SABC25.3用解析法证明等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高证明：在ABC中，ABAC，P为BC延长线上一点，PDAB于D，PEAC于E，CFAB于F.以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线
9、为y轴，建立直角坐标系(如下图)设A(0，b)，B(a,0)，C(a,0)(a0，b0)，则直线AB方程为bxayab0，直线AC方程为bxayab0，取P(x0,0)，使x0a，则点P到直线AB，AC的距离分别为|PD|，|PE| .点C到直线AB的距离为|CF|，则|PD|PE|CF|.问题：已知直线l：2xy10和点O(0,0)、M(0,3)，试在l上找一点P，使得|PO|PM|的值最大，并求出这个最大值解：点O(0,0)关于直线l：2xy10的对称点为O(，)，则直线MO的方程为y3x，直线MO与直线l：2xy10的交点N(，)即为所求，则|PO|PM|PO|PM|MO|所以|PO|P
10、M|的最大值为|MO|.本节课学习了：点到直线的距离公式及两平行直线间距离本节练习B2,3题本节课采用探究式的教学方法，通过设问、启发、铺垫，为学生搭建探究问题的平台，让学生在问题情境中，自己去观察、归纳、猜想并证明公式，经历数学建模的过程，在自主探究、合作交流中获得知识，在多角度、多方面的解决问题中，使不同层次的学生都能有所收获与发展根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣备选习题1已知两直
11、线l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的a、b的值(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等解：(1)l1l2，a(a1)(b)10，即a2ab0.又点(3，1)在l1上，3ab40.由解得a2，b2.(2)l1l2且l2的斜率为1a.l1的斜率也存在，即1a，则b.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a1)xy0，l2：(a1)xy0.原点到l1和l2的距离相等，4|.解得a2或a.因此或2求过点M(2,3)且与点P(1,0)的距离是1的直线方程解：当直线的斜率存在时，设过点M(2,3
12、)且与点P(1,0)距离是1的直线的方程是y3k(x2)，将其化简为一般形式得kxy2k30.由点到直线的距离公式得P点到直线的距离是1，解得k，所求直线方程为4x3y10.当直线的斜率不存在时，直线方程为x2时也满足已知条件综上所述可知，所求直线方程为4x3y10或x2.3证明等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值证明：建立直角坐标系，如下图，设边长为2a，则A(0，a)、B(a,0)、C(a,0)，直线AB的方程为xya0，直线AC的方程为xya0，直线BC的方程为y0.设P(x0，y0)是ABC内任意一点，则|PD|PE|PF|y0|.点P在直线AB、AC的下方，|PD|PE|PF|y0a(定值).6
