《高中数学2.3圆的方程2.3.2圆的一般方程教案新人教B版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学2.3圆的方程2.3.2圆的一般方程教案新人教B版必修2（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2 圆的一般方程示范教案教学分析教材利用圆的标准方程推导出了圆的一般方程，并讨论了二元二次方程与圆的关系，值得注意的是在教学中引导学生分析圆的两种方程形式的特点和各自适用的范围三维目标1掌握圆的一般方程的特点，培养分类讨论的数学思想2会求圆的方程，提高分析问题、解决问题的能力重点难点教学重点：圆的一般方程及其与标准方程的互化教学难点：对条件“D2E24F0”的理解课时安排1课时导入新课设计1.写出圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.将圆的标准方程展开并整理，得x2y22ax2bya2b2r20.如果设D2a，E2b，Fa2b2r2，得到方程x2y2DxEy
2、F0，这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式能不能说方程x2y2DxEyF0所表示的曲线一定是圆呢？这就是我们本堂课学习的内容设计2.问题：求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其他解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式推进新课(1)前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法？,(2)这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢？,(3)给出式子x2y2DxEyF0，请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子.,(4)把式子(xa)2(yb
3、)2r2与x2y2DxEyF0配方后的式子比较，得出x2y2DxEyF0表示圆的条件.,(5)对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较，看各自有什么特点？讨论结果：(1)以前学习过直线，我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，最后学习一般式大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、)展开整理而得到的(2)我们想求圆的一般方程，可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程，把标准形式展开，整理得到，也是从特殊到一般(3)把式子x2y2DxEyF0配方得(x)2(y)2.(4)(xa)2(yb)2r2中，r0时表示圆，
4、r0时表示点(a，b)，r0时，表示以(，)为圆心，为半径的圆；当D2E24F0时，方程仅有一组实数解x，y，即只表示一个点(，)；当D2E24F0时，它表示的曲线才是圆因此x2y2DxEyF0表示圆的条件是D2E24F0.我们把形如x2y2DxEyF0表示圆的方程称为圆的一般方程(5)圆的一般方程形式上的特点x2和y2的系数相同，不等于0.没有xy这样的二次项圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显思路1例1将下列圆的方程化为标准方程
5、，并写出圆的圆心坐标和半径：(1)x2y24x6y120；(2)4x24y28y4y150.解：(1)对方程左边配方，方程化为(x2)2(y3)225.所以圆心的坐标为(2,3)，半径为5.(2)方程两边除以4，得x2y22xy0.方程左边配方，得(x1)2(y)25.所以圆心的坐标为(1，)，半径为.变式训练1圆x2y24x8y0的圆心坐标是_，半径r_.答案：(2,4)22圆x2y2Dx4y10的半径r4，则D_.答案：2例2求过三点A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)的圆的方程解：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.根据题设条件，用待定系数法确定D，E，F.因为点A，B，C的圆上，
6、所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标依次代入上面的方程，整理得到关于D，E，F的三元一次方程组解这个方程组，得于是得到所求圆的方程x2y26x2y150.点评：我们也可以设圆的方程为(xa)2(yb)2r2.同样，根据已知条件可以列出三个未知数的方程组通过解方程组，求出a，b，r.那样做，会有较大的运算量变式训练求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求圆的半径和圆心坐标解：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，由O，M1，M2在圆上，则有解得D8，E6，F0.故所求圆的方程为x2y28x6y0，即(x4)2(y3)252.所以圆心坐标为(4，3)，半径为5.例3已
7、知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线解：在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，点M在曲线上的条件是.由两点之间的距离公式，上式用坐标表示为，两边平方并化简，得曲线方程x2y22x30，将方程配方，得(x1)2y24.所以所求曲线是圆心为C(1,0)，半径为2的圆(如下图)点评：到两定点A(a，b)，B(c，d)距离的比为(0)的点的轨迹为C，当1时，C为直线即线段AB的垂直平分线；当1或01时，C为圆本题中利用含有动点M的等式，求得轨迹方程的方法称为定义法变式训练求与两定点A(1,0)，B(5,0)距离的比为的点的轨迹方
8、程，并说明轨迹形状解：设M(x，y)是轨迹上任一点，则有，有，整理，得x2y2x20，即(x)2y2，轨迹方程是(x)2y2，其形状是以(，0)为圆心，半径为的圆思路2例4已知点P(10,0)，Q为圆x2y216上一动点当Q在圆上运动时，求PQ的中点M的轨迹方程解法一：如下图，作MNOQ交x轴于N，则N为OP的中点，即N(5,0)因为|MN|OQ|2(定长)所以所求点M的轨迹方程为(x5)2y24.解法二：设M(x，y)为所求轨迹上任意一点Q(x0，y0)因为M是PQ的中点，所以即(*)又因为Q(x0，y0)在圆x2y216上，所以xy16.将(*)代入得(2x10)2(2y)216.故所求的
9、轨迹方程为(x5)2y24.点评：解法一是根据已知条件判断出轨迹形状为圆，从而求得轨迹方程解法二称为相关点法，其步骤是：设被动点M(x，y)，主动点Q(x0，y0)求出点M与点Q坐标间的关系()从()中解出()将()代入主动点Q的轨迹方程(已知曲线的方程)，化简得被动点的轨迹方程变式训练已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程 解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)由于点B的坐标是(4,3)且M是线段AB的中点，所以x，y.于是有x02x4，y02y3.因为点A在圆(x1)2y24上运动，所以点A的坐标满足方程(x
10、1)2y24，即(x01)2y4.把代入，得(2x41)2(2y3)24，整理，得(x)2(y)21.所以点M的轨迹是以(，)为圆心，半径长为1的圆例5求圆心在直线l：xy0上，且过两圆C1：x2y22x10y240和C2：x2y22x2y80的交点的圆的方程分析：由于两圆的交点可求，圆心在一直线上，所以应先求交点再设圆的标准方程解：解方程组得两圆交点为(0,2)，(4,0)设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上，所以得方程组解得a3，b3，r.故所求圆的方程为(x3)2(y3)210.点评：由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的
11、问题，往往设圆的标准方程变式训练已知圆在x轴上的截距分别为1和3，在y轴上的截距为1，求该圆的方程解法一：利用圆的一般方程设所求的圆的方程为x2y2DxEyF0，由已知，该圆经过点(1,0)，(3,0)和(0，1)，则有解得D4，E4，F3.故所求圆的方程为x2y24x4y30.解法二：利用圆的标准方程由题意该圆经过P(1,0)，Q(3,0)，R(0，1)，设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则圆心C(a，b)在PQ的垂直平分线上，故a2.因为|PC|RC|，所以.将a2代入，得b2，所以C(2，2)而r|PC|，故所求圆的方程为(x2)2(y2)25.1已知点P(2,1)在圆C：x2y2a
12、x2yb0上，点P关于直线xy0的对称点P也在圆C上，则ab_.解析：由题意得直线xy0过圆心C(，1)，则10，所以a2.又P(1,2)，则122224b0，则b1，所以ab1.答案：12求下列各圆的半径和圆的坐标：(1)x2y26y0；(2)x2y22by0(b0)；(3)x2y22ax2ay3a20(a0)答案：(1)(x3)2y29，圆心为(3,0)，半径为3.(2)x2(yb)2b2，圆心为(0，b)，半径为|b|.(3)(xa)2(ya)2a2，圆心为(a，a)，半径为|a|.3下列方程各表示什么图形？(1)x2y20；(2)x2y22x4y60；(3)x2y22axb20.解：(
13、1)此方程表示一个点O(0,0)(2)可化为(x1)2(y2)211，此方程表示以点(1，2)为圆心，为半径的圆(3)可化为(xa)2y2a2b2(a0)，此方程表示以(a,0)为圆心，为半径的圆4如下图，等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4，高为3，求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长解：显然，等腰梯形ABCD的外接圆的圆心在y轴上由题设，可得点B的坐标是(3,0)，点C的坐标是(2,3)线段BC的中点坐标是F(，)，直线BC的斜率是kBC3.线段BC的垂直平分线的方程是y(x)与y轴的方程x0联立，解得y.所以，梯形外接圆的圆心E的坐标是(0，)半径长|EB|.所以，梯形外接圆的方程是x2(y)2 .半径长是，圆心坐标是(0，)问题：已知圆x2y2x8ym0与直线x2y6
