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1、（上海专版）高考数学分项版解析专题09圆锥曲线文专题09 圆锥曲线 文【2015/2016】1.【2015高考上海文数】抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则 .【答案】2【解析】依题意，点为坐标原点，所以，即.【考点定位】抛物线的性质，最值.【名师点睛】由于抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，所以抛物线的顶点到焦点的距离最小.2. 已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为 .【答案】【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.【名师点睛】在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程同时要熟练掌握以下三方面内容：(1
2、)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k.3.【2015高考上海文数】（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，设的面积为. （1）设，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明； （2）设，求的值；（3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变.【答案】（1）详见解析；（2）或；（3）.（3）设，则，设，由，的，同理，【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能
3、很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|x1x2| |y1y2|，而|x1x2|，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解4.【2016高考上海文数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲
4、线交于A、B两点.（1）若l的倾斜角为 ，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率. 【答案】（1）；（2）.【解析】【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、弦长公式【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.一基础题组1. 【2014上海,文4】若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛
5、物线的准线方程为_.【答案】.【解析】椭圆的右焦点为，因此，准线方程为.【考点】椭圆与抛物线的几何性质2. 【2013上海,文12】设AB是椭圆的长轴，点C在上，且CBA.若AB4，BC，则的两个焦点之间的距离为_【答案】3. 【2013上海,文18】记椭圆1围成的区域(含边界)为n(n1，2，)，当点(x，y)分别在1，2，上时，xy的最大值分别是M1，M2，则()A0 B C2 D【答案】D4. 【2010上海,文8】若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则点P的轨迹方程为_【答案】y28x【解析】由抛物线的定义可知，点P的轨迹是以F为焦点，以直线x20为准线的抛物线，
6、其方程为y28x. 5. 【2010上海,文13】在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为(，0)，e1(2,1)、e2(2，1)分别是两条渐近线的方向向量任取双曲线上的点P，若ae1be2(a、bR)，则a、b满足的一个等式是_【答案】4ab1【解析】由题意知，双曲线两条渐近线的斜率分别为，可得双曲线方程为y2，即：1.又双曲线的一个焦点坐标为(，0)，45，解得1.双曲线的方程为y21.而ae1be2(2a，a)(2b，b)(2a2b，ab)，又P在双曲线上，(ab)21.整理得4ab1. 6. (2009上海,文9)过点A(1,0)作倾斜角为的直线,与抛物线y2=2x交
7、于M、N两点,则|MN|=_.【答案】【解析】斜率,所以过点A(1,0)的直线方程为y=x-1.将其代入抛物线y2=2x,得x2-4x+1=0.因为判别式=16-40,所以可设其两根为x1,x2,于是x1+x2=4,x1x2=1.故.7. (2009上海,文12)已知F1、F2是椭圆C:(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若PF1F2的面积为9,则b=_.【答案】38. 【2008上海,文6】若直线经过抛物线的焦点，则实数_【答案】-1【解析】直线经过抛物线的焦点则 9. 【2008上海,文12】设是椭圆上的点若是椭圆的两个焦点，则等于（ ）A4B5C8D10 【答案】D【解析】 由椭
8、圆的第一定义知10. 【2007上海,文5】以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 .【答案】【解析】11. 【2006上海,文7】已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是_.【答案】【解析】已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是.12. 【2005上海,文7】若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是_.【答案】【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如a、b、c、p、e的几何意义及它们
9、的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题.二能力题组1. 【2014上海,文22】（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若0，则称点被直线分隔.若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线. 求证：点被直线分隔；若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求的方程，并证明轴为曲线的分割线.【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】（2）由题得，直线与曲线无交点即无解或，.又对任意的，点和在曲线上，满足，被
10、直线分隔，所以所求的范围是【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.2. 【2013上海,文23】如图，已知双曲线C1：y21，曲线C2：|y|x|1.P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1、C2都有公共点，则称P为“C1C2型点”(1)C1的左焦点是“C1C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线ykx与C2有公共点，求证|k|1，进而证明原点不是“C1C2型点”；(3)求证：圆x2y2内的点都不是“C1C2型点”【答案】(1) x或y，其中|k| ;(2)参考解析; (3)参考解析【解析】(1)C1的左焦点为(，0)，写出的直线方程可以是
11、以下形式：x或y，其中|k|.(2)因为直线ykx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|x|1，得|k|.若原点是“C1C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点考虑过原点与C2有公共点的直线x0或ykx(|k|1)显然直线x0与C1无公共点如果直线为ykx(|k|1)，则由方程组得x20，矛盾所以直线ykx(|k|1)与C1也无公共点因此原点不是“C1C2型点”3. 【2012上海,文22】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行
12、四边形的面积；(3)设斜率为k(|k|)的直线l交C于P，Q两点，若l与圆x2y21相切，求证：OPOQ.【答案】(1) M(，); (2) ; (3)参考解析 (3)设直线PQ的方程是ykxb.因直线PQ与已知圆相切，故，即b2k21.(*)由得(2k2)x22kbxb210.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则又y1y2(kx1b)(kx2b)，所以x1x2y1y2(1k2)x1x2kb(x1x2)b2.由(*)知，所以OPOQ.4. 【2010上海,文23】已知椭圆的方程为1(ab0)，A(0，b)， B(0，b)和Q(a,0)为的三个顶点(1)若点M满足 ()，求点M的坐标；(2)
13、设直线l1：yk1xp交椭圆于C、D两点，交直线l2：yk2x于点E.若k1k2，证明：E为CD的中点；(3)设点P在椭圆内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆的两个交点P1、P2满足？令a10，b5，点P的坐标是(8，1)，若椭圆上的点P1、P2满足，求点P1、P2的坐标【答案】(1) (，); (2) 参考解析;(3) P1(8,3)，P2(6，4) (2)证明：由得(b2a2)x22a2k1pxa2p2a2b20，CD中点坐标为(，)k1k2，k2.由得l1与l2的交点E的坐标为(，)l1与l2的交点E为CD的中点5. (2009上海,文22)已知双曲线C的中心是原点
14、,右焦点为F(,0),一条渐近线m:,设过点A(,0)的直线l的方向向量e=(1,k).(1)求双曲线C的方程;(2)若过原点的直线al,且a与l的距离为,求k的值;(3)证明:当时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.【答案】(1) ; (2) ;(3)参考解析 (3)证法一:设过原点且平行于l的直线b:kx-y=0,则直线l与b的距离,当时,.又双曲线C的渐近线为,双曲线C的右支在直线b的右下方.双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于.故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.证法二:假设双曲线C右支上存在点Q（x0,y0)到直线l的距离为，则由得,设,当时，;.将y0=kx0+t代入得（1-2k2)x02-4ktx0-2(t2+1)=0.(*)
