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1、（全国通用）2017届高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线10.6圆锥曲线的综合问题专用题组理新人教B版10.6圆锥曲线的综合问题考点一定点与定值问题5.(2013安徽,18,12分)设椭圆E:+=1的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;(2)设F1,F2分别是椭圆E的左,右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1PF1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.解析(1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=.故椭圆E的方程为+=1.(2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.由题设知x0c,则直线F1P的斜率=,直线F2P
2、的斜率=.故直线F2P的方程为y=(x-c).当x=0时,y=,即点Q的坐标为.因此,直线F1Q的斜率为=.由于F1PF1Q,所以=-1.化简得=-(2a2-1).将代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.评析本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质,直线与直线、直线与椭圆的位置关系等基础知识和基本技能.考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力.6.(2012湖南,21,13分)在直角坐标系xOy中,曲线C1上的点均在圆C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离
3、的最小值.(1)求曲线C1的方程;(2)设P(x0,y0)(y03)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线x=-4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.解析(1)解法一:设M的坐标为(x,y),由已知得|x+2|=-3.易知曲线C1上的点位于直线x=-2的右侧,于是x+20,所以=x+5.化简得曲线C1的方程为y2=20x.解法二:由题设知,曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x=-5的距离.因此,曲线C1是以(5,0)为焦点,直线x=-5为准线的抛物线.故其方程为y2=20x.(2)当点P在直线x=-4上
4、运动时,P的坐标为(-4,y0),又y03,则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为y-y0=k(x+4),即kx-y+y0+4k=0,于是=3.整理得72k2+18y0k+-9=0.设过P所作的两条切线PA,PC的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是方程的两个实根.故k1+k2=-=-.由得k1y2-20y+20(y0+4k1)=0.设四点A,B,C,D的纵坐标分别为y1,y2,y3,y4,则y1,y2是方程的两个实根,所以y1y2=.同理可得y3y4=.于是由,三式得y1y2y3y4=6 400.所以,当P在直线x=-4上运动时,四点A,B,
5、C,D的纵坐标之积为定值6 400.评析本题考查了直线、圆、抛物线的基础知识;考查了学生的运算求解能力.在运算时运用整体运算的技巧至关重要.考点二最值与范围问题7.(2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6答案D设Q(cos ,sin ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ|=5,故|PQ|max=5+=6.8.(2014安徽,19,13分)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p10)和E2:y2=2p2x(p20),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2
6、两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(1)证明:A1B1A2B2;(2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.解析(1)证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k20),则由得A1,由得A2.同理可得B1,B2.所以=2p1,=2p2,故=,所以A1B1A2B2.(2)由(1)知A1B1A2B2,同理可得B1C1B2C2,C1A1C2A2.所以A1B1C1A2B2C2.因此=.又由(1)中的=知=.故=.9.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为
7、4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当最小时,求点T的坐标.解析(1)由已知可得解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)(i)由(1)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).则直线TF的斜率kTF=-m.当m0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将
8、直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式=16m2+8(m2+3)0.所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率kOM=-,又直线OT的斜率kOT=-,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|=.所以=.当且仅当m2+1=,即m=1时,等号成立,此时取得最小值.所以当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).评析本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合
9、、转化与化归、分类与整合等数学思想.10.(2013重庆,21,12分)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A两点,|AA|=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P,过P,P作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQPQ,求圆Q的标准方程.解析(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1.由e=得b2=8,从而a2=16.故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0
10、x+8=(x-2x0)2-+8(x-4,4).设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.因为PQPQ,且P(x1,-y1),所以=(x1-x0,y1)(x1-x0,-y1)=0,即(x1-x0)2-=0.由椭圆方程及x1=2x0得-8=0,解得x1=,x0=.从而|QP|2=8-=.故这样的圆有两个,其标准方程分别为+y2=,+y2=.评析本题考查了椭圆的标准方程、几何性质、函数的最值等知识,考查了运算能力,分析问题和解决问题的能力,综合性较强.11.(2
11、012北京,19,14分)已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mR).(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.解析(1)因为曲线C是焦点在x轴上的椭圆,所以解得m0,即k2.设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=,x1x2=.直线BM的方程为y+2=x,点G的坐标为.因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN=,kAG=-,所以kAN-kAG
12、=+=+=k+=k+=0.即kAN=kAG,故A,G,N三点共线.评析本题主要考查直线与椭圆的位置关系.考查学生计算能力及转化与化归思想.12.(2012四川,21,12分)如图,动点M与两定点A(-1,0)、B(2,0)构成MAB,且MBA=2MAB.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=-2x+m与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|0,且y0.当MBA=90时,点M的坐标为(2,3).当MBA90时,x2,由MBA=2MAB,有tanMBA=,即-=.化简可得,3x2-y2-3=0.而点(2,3)在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹C的方程为3x
13、2-y2-3=0(x1).(5分)(2)由消去y,可得x2-4mx+m2+3=0.(*)由题意,方程(*)有两根且均在(1,+)内,设f(x)=x2-4mx+m2+3,所以解得m1,且m2.设Q、R的坐标分别为(xQ,yQ)、(xR,yR),由|PQ|1,且m2,有1-1+n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记=,BDM和ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l与y轴重合时,若S1=S2,求的值;(2)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=S2?并说明理由.解析依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为C1:+=1,C2:+=1.其中amn0,=1.(1)解法一:如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则S1=|BD|OM|=a|BD|,S2=|AB|ON|=a|AB|,所以=.在C1和C2的方程中分别令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,于是=.若=,则=,化简得2-2-1=0.由1,可解得=+1.故当直线l与y轴重合时,若S1=S2,则=+1.解法二:如图1,若直线l与y轴重合,则|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;S
