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1、教案66 数学归纳法一、课前检测1在数列中，=1，(),求。解：n=1时,=1 以上n-1个等式累加得=，故 且也满足该式 ()。2在数列中，=1，求。解：由已知得，分别取n=1、2、3(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=123(n-1)=(n-1)!所以时，故且=1也适用该式 ().二、知识梳理（一）基本知识1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：特殊一般2.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法. 3.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊
2、情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法5.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(kn0，kN*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推
3、出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.（二）解读(1）用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤：第一步验证n取第一个允许值n0时命题成立；第二步从n=k(kn0)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。其中第一步是验证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步则是推证命题正确性的可传递性，是递推
4、的依据。两个步骤各司其职，缺一不可。证明步骤与格式的完整与规范是数学归纳法的一个鲜明特征。(2）在第二步证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n=k时命题成立”这一条件。因为“当n=k时命题成立”实为一个已知条件，而“当n=k+1时命题成立”只是一个待证目标。(3)“观察归纳猜想证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证明结论的正确性。这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点。(4)用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等.(5)没有
5、运用归纳假设的证明不是数学归纳法问题1 用数学归纳法证明：错证：（1）当n=1时，左=右=1，等式成立（2）假设当n=k时等式成立，那么当n=k+1时，综合（1）（2），等式对所有正整数都成立点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设(6)归纳起点未必是1。问题2：用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为点拔：本题的归纳起点三、典型例题分析题型1 证明等式问题例1 用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边=1-=，右边=，所以等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，即。那么，当n=k+1时， 即是说，当n=k+1时等式也成立。综上所述
6、，等式对任何自然数n都成立。变式训练1 在数列中，求数列的通项公式。解：猜想下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，猜想成立（2）假设当n=k时猜想成立，则当n=k+1时猜想也成立综合（1）（2），对猜想都成立小结与拓展：（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面。找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂”。（4）“归纳猜想证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式。题型2 证明不等式问题例2 （2010年北京调研
7、20）数列满足：，.（）若数列为常数列，求的值；（）若，求证： (.)。解：（）当数列为常数列时，=，由条件得， 解得或 （）用数学归纳法证明.（1）当时，符合上式. （2）假设当时，因为 ，所以 ，即.从而，即.因为，所以，当时，成立.即当n=k+1时命题也成立由（1）、（2）知，对，都成立。变式训练2 对于不等式n1(nN*)，某同学的证明过程如下：证明：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立综上所述，不等式对任何自然数n都成立。则上述证法( D )A过程全部正确 Bn1验得不正确C归纳假设不正确
8、D从nk到nk1的推理不正确解：用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设小结与拓展：题型3 数学归纳法的综合应用例3 是否存在常数a，b，c使得等式122232n(n1)2(an2bnc)对于一切正整数n都成立？并证明你的结论证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式122232n(n1)2(an2bnc)中，令n1，得4(abc) 令n2，得22(4a2bc) 令n3，得709a3bc 由解得a3，b11，c10，于是，对于n1,2,3都有122232n(n1)2(3n211n10)(*)成立下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，(*)式都成立(1)当n1时，由上述知，(*)成立(2
9、)假设nk(k1)时，(*)成立，即122232k(k1)2(3k211k10)，那么当nk1时，122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10，由此可知，当nk1时，(*)式也成立综上所述，当a3，b11，c10时题设的等式对于一切正整数n都成立变式训练3 设函数f(n)(2n9)3n19，当nN*时，f(n)能被m(mN*)整除，猜想m的最大值为( D )A9 B18 C27 D36解：由f(n1)f(n)363n1(n6)知m的最大值为36.小结与拓展：四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）（一）数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法。（二）数学归纳法分为两个步骤：（1）证明当n取第一个允许值n0时，结论正确。（注意n0不一定是1，也可能是其他的自然数。）（2）假设当n=k(kN, kn0)时命题正确,根据假设，证明n=k+1时，结论也正确。由以上两步得出结论：任何nn0的自然数，命题均成立。数学归纳法只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，递推过程就失去了基础。先为推理建立初始条件，然后依据最初的条件从有限递推到无限，是这种证明方法的精髓，是它思想方法的闪光点。即：第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可。- 6 -用心 爱心 专心
