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1、第二章习题参考解答2.1 求下列系统的阶跃响应和冲激响应。(1) 解 当激励为时，响应为，即：由于方程简单，可利用迭代法求解：， ， ，由此可归纳出的表达式：利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应： (2) 解 (a)求冲激响应 ，当时，。特征方程 ，解得特征根为。所以： (2.1.2.1)通过原方程迭代知，代入式(2.1.2.1)中得： 解得， 代入式(2.1.2.1)： (2.1.2.2)可验证满足式(2.1.2.2)，所以： (b)求阶跃响应通解为 特解形式为 ，代入原方程有 ， 即完全解为 通过原方程迭代之，由此可得 解得，。所以阶跃响应为： (3) 解 (4) 解 当t0时，
2、原方程变为：。 (2.1.3.1) (2.1.3.2)将(2.1.3.1)、 (2.1.3.2)式代入原方程，比较两边的系数得： 阶跃响应：2.2 求下列离散序列的卷积和。(1) 解 用表格法求解 (2) 解 用表格法求解 (3) 和 如题图2.2.3所示 解 用表格法求解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 参见右图。当时：当时： 当时：当时：当时：(7) ， 解 参见右图：当时：当时： 当时： 当时： 当时： (8) ， 解 参见右图当时： 当时： 当时： 当时： (9) ， 解 (10) ， 解 或写作：2.3 求下列连续信号的卷积。(1) ， 解 参见右图：当时： 当时：当时：当时：当
3、时：当时： (2) 和 如图2.3.2所示 解 当时：当时：当时： 当时： 当时： (3) ， 解 (4) ， 解 (5) ， 解 参见右图。当时：当时： 当时： 当时： (6) ， 解 (7) ， 解 (8) ， 解 (9) ， 解 2.4 试求题图2.4示系统的总冲激响应表达式。解 2.5 已知系统的微分方程及初始状态如下，试求系统的零输入响应。(1) ； 解 ，(2) ； ，解 ， ，可定出 (3) ； ，解 ， ，可定出 2.6 某一阶电路如题图2.6所示，电路达到稳定状态后，开关S于时闭合，试求输出响应。解 由于电容器二端的电压在时不会发生突变，所以。根据电路可以立出时的微分方程：
4、， 整理得 齐次解：非齐次特解：设 代入原方程可定出 ， 则： 2.7 积分电路如题图2.7所示，已知激励信号为，试求零状态响应。解 根据电路可建立微分方程： 当时： 由可定出 ， 根据系统的时不变性知，当时： 当 时：2.8 求下列离散系统的零输入响应。(1) ； ，解 由， 可定出 ， (2) ； ，解 由， 可定出 .(3) ； ， 解 特征方程， 由 可定出 2.9 求下列离散系统的完全响应。(1) ； 解 齐次方程通解：非齐次方程特解： 代入原方程得： 由 可定出 (2) ； ， 解 齐次方程通解：非齐次方程特解： 代入原方程定出 由 可定出 2.10 试判断下列系统的稳定性和因果性
5、。(1) 解 因果的；稳定的。(2) 解 因为冲激响应不满足绝对可和条件，所以是不稳定的；非因果的。(3) 解 稳定的，非因果的。(4) 解 不稳定的，因果的。(5) 解 不稳定的，因果的。(6) (为实数)解 时： 不稳定的，因果的； 时： 稳定的，因果的； 时： 不稳定的，因果的。(7) 解 不稳定的，非因果的。(8) 解 稳定的，非因果的。2.11 用方框图表示下列系统。(1) (2) (3) *2.12 根据系统的差分方程求系统的单位脉冲响应。(1) 解 当时： , 由原方程知当时：，由此可定出 (2) 解 当时： 齐次方程的通解为，由原方程迭代求解可得为： 由此可以定出 *2.13
6、根据系统的微分方程求系统的单位冲激响应。(1) 解 当时：，代入原方程可确定 (2) 解 当时： 代入原方程，比较两边系数得： *2.14 试求下列系统的零输入响应、零状态响应、强迫响应、自由响应。(1) ；，解 (a)求强迫响应： 假设特解为：代入原方程，可定出； 则强迫响应 (a)求自由响应： 利用冲激平衡法可知： 可定出；所以完全解形式：，由定出即完全响应为：所以自由响应为：(b)求强迫响应： 假设特解为：代入原方程，可定出； 则强迫响应 (c)求零输入响应：由 可定出 (d)求零状态响应 零状态响应自由响应强迫响应零输入响应 综上所求，有： (2) ；，解法一 用z变换求解。方程两边进
7、行z变换，则有： 解法二：时域解法。求强迫响应： 当时： 即为常值序列， 设特解为，代入原方程可定出当时：仅在激励作用下，由原方程知，即：特解在时均满足方程。求自由响应：完全解：由经迭代得：由可定出完全解中系数为： 则自由响应分量为：零输入响应： 由 可以定出： 零状态响应：*2.15 试证明线性时不变系统具有如下性质：(1) 若系统对激励的响应为，则系统对激励的响应为；(2) 若系统对激励的响应为，则系统对激励的响应为。证(1) 已知，根据系统的线性试不变性有： ；令，则有：证(2) 已知，根据系统的线性试不变性有： 令 则 ，所以 证毕。*2.16 考察题图2.16(a)所示系统，其中开平
8、方运算取正根。(1) 求出和之间的关系；(2) 该系统是线性系统吗，是时不变系统吗？(3) 若输入信号是题图2.16(b)所示的矩形脉冲(时间单位：秒)，求响应。解 (1) 由系统框图可得(2) 由输入一输出关系可以看出，该系统不满足可加性，故系统是非线性的。又因为当输入为时，输出为），故系统是时不变的。 (3) 由输入一输出关系，可以求得输出为图示波形。*2.17 一个线性系统对的响应为，(1) 该系统是否为时不变系统？(2) 该系统是否是因果系统？(3) 若 a)；b)，求该系统对每个输入的响应。解 (1) 当时，输入为输出为当时，输入为输出为显然 ，是时变系统。(2) 当时，如显然，响应
9、出现于激励之前，所以是非因果系统。(3) 因为不是LTI系统，所以输出响应不能用来计算。对于线性时变系统，输出响应可求解如下： 任意信号仍可分解为冲激函数的和，即有：因为（这里是的二元函数）由于系统为线性的，故有：对于此例有，当时： （注意：）即 当时： 第三章习题参考解答3.1 求下列信号展开成傅里叶级数，并画出响应相应的幅频特性曲线。解 (a) 解 (b) 解 (c) 解 (d) 3.2 求题图3.2所示信号的傅里叶变换。解 (a) 解 (b) 设， 由傅氏变换的微积分性质知： 解 (c) 利用傅氏变换性质知：解 (d) 或 解 (e) 解 (f) 3.3 若已知，试求下列信号的傅里叶变换。(1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 (5) 解 (6) 解 令 则有：, ， 3.4 在题图3.2(b)中取，将进行周期为的周期延拓，得到周期信号，如题图3.4(a)所示；取的个周期构成截取函数，如题图3.4(b)所示。(1) 求周期信号傅里叶级数系数；(2) 求周期信号的傅里叶变换；(3) 求截取信号的傅里叶变换。解 (1) 设单个三角波脉冲为，其傅里叶变换根据傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系知： (2) 由周期信号的傅里叶变换知：
