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1、1,第7章 应力状态和强度理论,例题1 例题2 例题3 例题7-2 例题7-3 例题4 例题7-5,例题5 例题7-6 例题6 例题7 例题8 例题9 例题7-7,2,解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：,例：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉 力F=500kN，外力矩Me=7kNm。求C点 =30截面上的应力。,例题1,3,图示斜截面上应力分量为：,例题1,4,解：按一定比例画出应力圆。,例：用图解法求图示 =30斜截面上的应力值。,因为图示应力状态有：,例题2,5,按一定比例，作出应力圆，并找到斜截面对应的点，量取其坐标可得：,则x、y截面在应力圆上两点为：,例题
2、2,6,例 求图a所示应力状态的主应力及方向。,解：1、应力圆图解法：,因为：,所以：,按一定比例作出应力圆（图b）。,例题3,7,由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：,由此可得：,主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：,例题3,8,2、解析法 ：,所以：,例题3,9,例：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a和b所示，梁的尺寸见图c。试通过应力圆求截面C上a、b两点处的主应力。,解：首先作出梁的剪力和弯矩图如图d和e所示：,(a),例题7-2,10,由此可得C截面处的弯矩和截面左侧的剪力为：,又因为横截面的惯性矩和计算a点切应力所需的静矩为：,例题7-2,11,且：,由此可得C
3、截面上a点处正应力和切应力分别为：,例题7-2,12,该点的应力状态如图f所示，选定适当的比例，即可绘出相应的应力圆，如图g所示。,由应力圆可得a点处的主应力为：,例题7-2,13,且：,则1主平面的方位角0为：,显然， 3主平面应垂直与1主平面，示意图如下：,例题7-2,14,对C截面上的b点，因yb=0.15m可得：,该点的应力状态如图h所示，选定适当的比例，即可绘出相应的应力圆，如图i所示。,例题7-2,15,b点处的主应力为：,1主平面就是x平面，即梁的横截面C。,例题7-2,16,17,例题71 已知一点应力状态如图示，求 及主应力、主平面、,18,解：1）求,2）求主应力、主平面、
4、,19,主平面：,的夹角为 ，,的夹角为,剪应力最大值,大偏大，小偏小，夹角不大于45度。,20,(g),21,例题72 求图示梁K点 的斜面上应力与主应力，最大剪应力。,22,解：1）求11截面上的内力,2）求横截面上的应力,23,4）求主应力和最大剪应力,24,例题74：用应力圆法解例题72。,解：1）作应力圆,应力圆圆心,，（1.1，0）,3）求主应力和最大剪应力,半径,25,例题75 单元体应力如图，求主应力，最大剪应力。,26,点A1，A3各对应一主应力，A2（50，0）也对应一主应力。因此有,27,法二：解析法,说明：,#,28,例：用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大
5、切应力max及作用面。,解：z=20MPa为一主应力，则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。 由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。,例题7-3,29,图b所示平面应力状态对应的应力圆如图c。,最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。,例题7-3,30,作用面与2平行而与1成45角，如图e所示。,最大切应力对应于B点的纵坐标，即,例题7-3,31,可求得：,例：对下列图示应力状态，求切应力最大值。,例题4,32,例：已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为1=24010-6，3=16010-6。材料的弹性模量E =210GPa，泊松比 =0.3。求该点处的主应力值数，并求另一
6、应变2的数值和方向。,解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：,即为平面应力状态，有,例题7-5,33,联立两式可解得：,主应变2为：,其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。,例题7-5,34,例：讨论图示各应力状态下的体积应变。单位：MPa,因为：,所以：,因为：,所以：,可见：,例题5,35,可见，图c和d所示应力状态下无体积应变。,因为：,所以：,因为：,所以：,例题5,36,例：边长a =0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图a所示。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比 =0.34。当受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应变
7、以及最大切应力。,解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：,例题7-6,37,联解可得：,受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力，即有：,例题7-6,38,利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：,则铜块的主应力为：,由此可得其体应变为：,例题7-6,39,例：证明,解：对图示纯剪应力状态有：,该单元体的应变能为：,所以，应变能密度为：,例题6,40,而对纯剪应力状态，其主应力为：,如左图所示。,而由主应力和主应变表示的应变能密度为：,又由于：,例题6,41,所以：,由此可得：,最后证得：,结合前式，有：,例题6,42,例：构件表面某点O，实验测得该点沿0与45的 正
8、应变分别为0=45010-6、45=35010-6，沿90方位的正应变90=10010-6，已知E=200 GPa，=0.3 ，试求该点处的主应力 。,解：显然，有：,由此可得：,例题7,43,进而可得：,例题7,44,例：两危险点的应力状态如图， =，由第三、第四强度理论分别比较其危险程度。,解：对图a所示应力状态，因为,例题8,45,所以：,例题8,46,对图b所示应力状态，有：,所以：,例题8,47,可见：由第三强度理论，图b所示应力状态比图a所示的安全；而由第四强度理论，两者的危险程度一样。,注意：图a所示应力状态实际上为拉扭和弯扭组合加载对应的应力状态，其相当应力如下：,可记住，便于
9、组合变形的强度校核。,例题8,48,由第三强度理论，有：,例：利用第三或第四强度理论求纯剪应力状态下屈服应力s和拉压屈服应力s之间的关系。,当 =s时材料发生屈服，因此有：,解：图示纯剪应力状态的主应力为：,而当材料拉压屈服时有：,例题9,49,由此可得：,利用第四强度理论，有：,即，,纯剪：,单拉：,由此可得：,例题9,50,例：两端简支的工字钢梁承受荷载如图a所示。已知材料（Q235钢）的许用应力为=170MPa和= 100MPa。试按强度条件选择工字钢号码。,解：首先确定钢梁的危险截面。,作出梁的剪力图和弯矩图如图b和图c所示，可见C、D截面为危险截面，取C截面计算，其剪力和弯矩为：,例
10、题7-7,51,先按正应力强度条件选择截面型号。因最大正应力发生在C截面的上、下边缘处，且为单向应力状态，由正应力强度条件可得截面系数为：,据此可选用28a号工字钢，其截面系数为：,再按切应力强度条件进行校核。对28a号工字钢，查表可得截面几何性质为：,例题7-7,52,中性轴处的最大切应力（纯剪应力状态）为：,可见，选用28a号工字钢满足切应力强度条件，简化的截面形状和尺寸以及应力分布如图d所示。,例题7-7,53,利用图d所示的截面简化尺寸和已有的Iz，可求得a点的正应力和切应力分别为：,以上分析仅考虑了最大正应力和切应力作用的位置，而对工字型截面腹板和翼缘交界处（图d中的a点），正应力和切应力都较大，且处于平面应力状态（见图e），因此还需对此进行强度校核。,例题7-7,54,其中，Sz为横截面的下缘面积对中性轴的静矩，为：,由前例可得，图e所示应力状态的第四强度理论相当应力为：,例题7-7,55,可见，28a号工字钢不能满足要求。改用28b号工字钢，按同样的方法可得：,可用。,若用第三强度理论，则相当应力为：,请自行计算最终结果。,例题7-7,56,注意：本例中对a点的强度校核是按简化后的截面尺寸进行的。实际上，对符合国家标准的型钢并不需要对该点进行校核；然而，对自行设计的焊接而成的组合工字梁则需进行校核。,例题7-7,
