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1、北京二中北京二中 2020 届高三校模届高三校模 数学数学 一、选择题一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项） 1. 复数 1 i i z + =在复平面内对应的点位于（ ）. A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 已知集合|0 ,Ay yABA=则集合B不可能 是（ ）. A0,|=xxyy B0,lg|=xxyy C 1 |,R 2 x y yx = D 3. 若实数,0a b ，ab，则（ ）. Alglgab B 11 ab C 22 ab D 33 ab 4. 从圆 22 2210 xxyy+ =外一
2、点()3,2P向圆作两条切线， 则两切线夹角的余弦值为 （ ）. A 3 5 B 4 5 C 1 2 D 4 3 5. 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积所用的经 验公式为：弧田面积() 2 1 + 2 S =弦 矢 矢弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指 圆弧所对的弦长， “矢”等于“半径长”与“圆心到弦的距离”之差，按照上述经验公式计 算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差现有圆心角为 2 3 ，半径等于4米的弧田按 照上述方法计算出弧田的面积相比实际的弧田面积小大约（ ）. A1平方米 B2平方米 C3平方米 D4平方米 6. 已知双曲线() 22 22
3、 10,0 xy ab ab =的两条渐近线与抛物线() 2 20ypx p=的准线分 别交于,A B两点，O为原点， 若双曲线的离心率为2， AOB面积为3， 则p =（ ） . A1 B 3 2 C2 D3 7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）. A 1 3 B 2 3 C1 D 4 3 8. 已知平面向量1a =，()0,2ab+=，则ab的最大值为（ ）. A2 B3 C4 D5 9. 已知四棱柱 1111 ABCDABC D， 1 AA 平面ABCD，则“平面 1 ACB 平面 11 DBB D” 是“四棱柱 1111 ABCDABC D为正方体”的（ ）. A充
4、分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10. 关于曲线:C 42 1xy+=，下列命题错误错误的个数是（ ）. 曲线C关于()0,0中心对称 直线0,0,xyyx=都是曲线C的对称轴 曲线C恰好经过4个整点（横纵坐标都是整数的点） 曲线C是封闭图形，且围成的面积(),4S A0 B1 C2 D3 二、填空题二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11. () 5 12x的展开式中 3 x的系数为 . 12. 数列 n a满足 1 4a =， 1 2 nn aa + =，Nn ，若 2 log nn ba=，则数列 n b的前10项和 等于 . 1
5、3. 使命题“,0, 222 xyx y x y + +”为假命题的一组, x y的值为 . 14. 如图，在ABC中，D是边AC上的点，且3ABAD=，2BD =，4BC =， 则sinC =_；ABC面积为 . 15. 已知函数( )(R) 1 | x f xx x = + 时，则下列结论正确的是 . R,()( )0 xfxf x +=等式恒成立； (0,1),|( )|mf xm =使得方程有两个不等实数根； 121212 ,R( )()x xxxf xf x=,使得； (1,),( )( )R.kg xf xkx +=使得函数在 上有三个零点 三三、解答解答题题（共 6 小题，共 8
6、5 分） 16. （本小题满分 14 分） 如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，90ADCBAD = . F为PA中点， 2PD=， 1 1. 2 ABADCD= 四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点 N . （）求证：AC/ 平面DEF； （）求二面角ABCP的大小； （）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与 平面BCP所成角的大小为 6 ？ 若存在，请求出FQ 的长；若不存在，请说明理由. 17. （本小题满分 14 分） 已知： 函数( ) 1 64 f xcosxsinx =+ ，且 1 5 2 4 , ； 向量() 11 32 24 msinx,cosx ,ncosx, =
7、 ，且 1 5 2 4 , ，( )f xm n=； 请在上述二个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知_，且函数( )fx的图象关于直线 5 6 x=对称. （）求函数( )fx在0,上的单调递增区间 （）当0 x,时，若( ) 1 1 4 4 f x, ，求x的取值范围 N F D C A B EP 18. （本小题满分 14 分） 某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进 行回访，调查结果如下表： 汽车型号 回访客户（人数） 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 满意率是指：某种型号汽车的回访
8、客户中，满意人数与总人数的比值. 假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该 型号汽车的满意率相等. （）从所有的回访客户中随机抽取 1 人，求这个客户满意的概率； （）从型号和型号汽车的所有客户中各随机抽取 1 人，设其中满意的人数为，求 的分布列和期望； （）用“ 1 1=”,“ 2 1=”,“ 3 1=”,“ 4 1=”,“ 5 1=”分别表示， ，型号汽车让客户满意，“ 1 0=”,“ 2 0=”,“ 3 0=”,“ 4 0=”,“ 5 0=” 分别表示，型号汽车让客户不满意.写出方差 12345 ,DDDDD的 大小关系. 19 （本小题满分 15
9、 分） 已知函数 2 ( )2ln4f xxmxx=+ （）当5m=时，求 ( )f x的单调区间 （）设直线l是曲线( )yf x=的切线，若l的斜率存在最小值2，求m的值，并求取得 最小斜率时切线l的方程 （）已知 ( )f x分别在 1 x，() 212 xxx处取得极值，求证：()() 12 2fxfx+ 20. （本小题满分 14 分） 已知椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab +=的离心率为 1 2 ，左、右焦点分别为 12 ,F F，点D 在椭 圆C上， 12 DFF的周长为6 （）求椭圆C的方程； （）已知直线l经过点(2,1)A，与椭圆C交于不同的两点,M N，若
10、AM， 1 2 OA， AN（O为坐标原点）成等比数列，判断直线l的斜率是否为定值？若是，请求出 该定值；若不是，请说明理由 21. （本小题满分 14 分） 设n为给定的大于2的正整数，集合1,2,Sn=，已知数列 n A： 1 x， 2 x， n x满足条件： 当1in 时， i xS； 当1 ijn 时， ij xx . 如果对于1 ijn ，有 ij xx ，则称(), ij x x为数列 n A的一个逆序对.记数列 n A的 所有逆序对的个数为() n T A. （）若() 4 1T A=，写出所有可能的数列 4 A； （）若()2 n T A=，求数列 n A的个数； （）对于满足
11、条件的一切数列 n A，求所有() n T A的算术平均值. 北京二中北京二中 2020 届高三校模届高三校模 数学数学参考答案参考答案 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 D B D A A 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 C D C B B 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 1 11 1 1 12 2 1 13 3 1 14 4 1 15 5 80 65 1 1 , 2 2 （不唯一） 6 6 ； 4 52 3 + 三、解答题（共 6 小题，共 85 分） 16. （本小题满分 14 分） 解：()连接,FN在PAC中，,
12、F N分别为,PA PC中点，所以/ /,FNAC 因为,FNDEF ACDEF平面平面 所以/ /DEFAC平面 4 分 ()如图以D为原点，分别以,DA DC DP所在直线为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系 .Dxyz 5 分 则(0,0,2), (1,1,0),(0,2,0),(1,1,2),( 1,1,0).PBCPBBC= 所以 设平面PBC的法向量为( , , ),mx y z=则 ( , , ) (1,1,2)0, ( , , ) ( 1,1,0)0 m PBx y z m BCx y z = = = 即 20, 0 xyz xy += + = 解得, 2 xx zx = =
13、 N P F D C A B E z y x 令1x =，得 1 1, 2 x y z = = = 所以(1,1,2).m = 7 分 因为平(0,0,1),ABCn =面的法向量 所以 2 cos, 2 n m n m nm = ， 由图可知二面角ABCP为锐二面角， 所以二面角ABCP的大小为. 4 9 分 () 设存在点 Q 满足条件. 由 12 ( ,0,),(0,2, 2). 22 FE 设(01)FQFE=， 整理得 12(1) (,2 ,) 22 Q + ， 12(1) (,21,), 22 BQ + = 11 分 因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为 6 ， 所以 2 |51|1 sin|cos,| | 62 2 19107 BQ m BQ m BQm = + ， 13 分 则 2 1,01=由知1=，即Q点与 E 点重合. 故在线段EF上存在一点Q，且 19 | |. 2 FQEF= 14 17. 解：方案一：选条件 因为() = ( 6) + 1 4 = ( 6 6) + 1 4， = 3 2 1 2co
