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1、1,1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换,一、引 入,二、高斯消元法与初等变换,三、初等矩阵,2,一、引入,3,齐次方程组：AX = 0;,非齐次方程组：AX = b, b 0 (b中至少有一分量不为零),则称X为AX = b的解：,使得AX = b 成立，,定义,4,方程组：AX = b,问题,方程组何时有解？ 若有解，有多少解？如何求出其全部解？,5,引例,用消元法解下列方程组的过程,二、高斯消元法与初等变换,6,解,7,8,用“回代”的方法求出解：,于是解得,9,故方程组有无穷多解,10,小结,1上述解方程组的方法称为消元法,2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（它们是同解变换
2、）,（1）两个方程互换；,（2）以不等于的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍,称以上三种变换为线性方程组的初等变换,但线性方程组的初等变换，,实际上只对增广矩阵的系数作了相应的变化，,称为增广矩阵的初等行变换。,11,定义,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,对换变换,倍乘变换,倍加变换,12,下面三种变换称为矩阵的初等列变换:,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,对换变换,倍乘变换,倍加变换,矩阵的初等变换,13,用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：,（1）,14,15,方程组的解为：,16,（2）零行(元素全为0) 都在下方。,（1）对于每个非零行(元素不全为0
3、)的非0首元都出现在上一行非0首元的右边；,是行阶梯形矩阵,不是行阶梯形矩阵,满足下列2个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵,17,（1）是行阶梯形矩阵；,不是简化行阶梯形矩阵,（2）每一非0行的非0首元为1；,（3）每一非0首元1所在的列的其余元素均为0；,是简化行阶梯形矩阵,满足下列3个条件的矩阵称为简化行阶梯形矩阵,18,注 对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为简化行阶梯形矩阵.,高斯消元法解方程组的过程，,就是对其增广矩阵做初等行变换的过程，,目标是将增广矩阵化为简化行阶梯形矩阵。,19,例 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵进行初等行变换，,故方程组无解,20,方程组无解,这时
4、出现了矛盾方程,21,例 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵进行初等行变换，,22,故方程组有唯一解,23,方程组有唯一解,这时,没出现矛盾方程，且,行阶梯形矩阵有2个非0行,（有2个非0首元）,24,例 求解非齐次方程组的通解,解 对增广矩阵进行初等行变换,25,故方程组有无穷多解,26,方程组有无穷多解,这时,故方程组有无穷多解,没出现矛盾方程，且,行阶梯形矩阵有2个非0行,（有2个非0首元）,27,线性方程组,一般情形,对其增广矩阵作初等行变换，总可以化为如 下形式的简化行阶梯矩阵（必要时交换未知量的 下标）,28,29,这个方程组与原方程组同解,30,自由未知量 .,解为,31,当方
5、程为齐次方程组时，,齐次方程组至少有一组零解,特别地，方程个数少于未知量个数的齐次方程组:,一定有非零解.,32,例 求解齐次线性方程组,解,33,由此即得,齐次方程有无穷多解，,所以有非零解.,34,解线性方程组,解,练一练,35,简化行阶梯形矩阵,对应的方程组为,即,方程组有无穷多解.,36,例 设有线性方程组,解,37,38,其解为,39,这时又分两种情形：,40,矩阵的等价,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,逆变换,逆变换,逆变换,41,矩阵等价关系的性质,42,定义 由单位矩阵 I 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,三、初等矩
6、阵,43,第 列,第 列,(1) 对调I中两行或两列，得初等对换矩阵.,44,第 列,(2) 以数,乘I 中某行或某列，得初等倍乘矩阵.,45,第 列,第 列,得初等倍加矩阵.,46,例,47,48,49,定理,设A是m n矩阵，,对A施行一次初等列变换，,相当于在A的左边乘一个相应的m阶初等矩阵；,相当于在A的右边乘一个相应的n阶初等矩阵,对A施行一次初等行变换，,50,对矩阵作一次初等行(列)变换,在矩阵左边(右边)乘以一个初等矩阵,同样的行为,初等变换与初等矩阵的关系,矩阵的初等变换可看成矩阵的一种运算.,51,“左乘行，右乘列”,定理的应用：,1.若矩阵B是A经有限次行初等变换得到的，则存在 有限个初等矩阵E1, , Ek , 使得,2.若矩阵B是A经有限次列初等变换得到的，则存在 有限个初等矩阵E1, , Ek , 使得,3.若矩阵B是A经有限次初等变换得到的，则存在 有限个初等矩阵P1, , Pk , Q1, , Qt使得,52,解,例,53,设矩阵,练一练,54,小 结,1. 初等行(列)变换,3. 矩阵等价具有的性质,55,5. 利用矩阵的初等行变换解线性方程组. 目标为化方程组的增广矩阵为简化行阶梯形矩阵，从而判断方程组是否有解，有解时有唯一解还是无穷多解.,56,作业 P28 1 (1) (3) (5) ，3 ， 4,
