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1、2011年数学原创试题（7）函数创新题“SHOW”1.已知函数(为正整数),若存在正整数满足:,那么我们将叫做关于的“对整数”.当时,则“对整数”的个数为 个.来源:学科网ZXXK解析:,满足要求,当时,则“对整数”的个数为9个.2.给出定义:若函数在上可导,即存在,且导数在上也可导,则称在上存在二阶导函数,记,若在上恒成立,则称在上为凸函数,给出下列四个函数:;.其中在上是凸函数的序号为 .解析:由凸函数的定义可得该题即判断的二阶导函数的符号.对于,在上,恒有;对于,在上,恒有;对于,在上,恒有;对于,在上,恒有,故填.3.设函数的定义域为,若存在常数,使对一切实数均成立,则称为“海宝”函数
2、.给出下列函数:;.其中是“海宝”函数的序号为 . 来源:学科网解析:对于,假设存在常数,则.若,则对一切实数均成立,不存在.对于,即对一切实数均成立,不存在.对于,若,则.存在.对于对一切实数均成立,不存在.故填.4.设函数定义域为,若满足在内是单调函数;存在使在上的值域为,那么就称为“成功函数”.(1)若函数是定义域为的“成功函数”,则的取值范围为 .(2)若是定义域为的“成功函数”,则的取值范围为 .(3)若函数是“成功函数”,则实数的取值范围为 .来源:学科网ZXXK解析:(1)依题意,函数在定义域为单调递增函数,且,而时,不满足条件,设存在,使得在上的值域为,是方程的两个不等实根,解
3、得.(2)为成功函数有两个不等实根.即有两个不等实根.令,令.当时,时,;时,.当时,时,;时,.综上:.(3)是增函数,若是成功函数,则存在实数,使,为方程的两个实数根,从而方程有两不等实根.令,则.当时,;当时,.当时.直线与曲线有两个不同交点,即方程有两个不等实根,故实数的取值范围是.5.已知是定义在上的函数,且对于任意都有,若,则 .解析:由知,从而有.,则由.得,即是周期为1的函数,.6.若定义在上的函数满足:对于任意,有.设的最大值、最小值分别为,则的值为 .解析:令,则,令,则,为奇函数,函数关于原点对称,函数关于点对称.又设,不妨设,则,在上单调递增,故.7.设函数,表示不超过
4、实数的最大整数,则函数的值域是 .解析:,则,当时,当时,当时,的值域是.来源:Zxxk.Com8.记集合,将中的元素按从大到小的顺序排列,则第2010个数是( )A. B. C. D.解析:用表示位进制,则集合,中的最大数为,在十进制中,从2400起从大到小顺序排列的第2010个数字是,而,则中的数为.故选A.9.已知集合,其中,且.若正整数,且,则符合条件的正整数有 个.解析:用表示位进制,则集合,中的最大数为,且,则最小值为,若正整数,且,则时,则,符合条件的正整数有个.10.如果对任意一个三角形,只要它的三边长都在函数的定义域内,就有,也是某个三角形的三边长,则均为“型函数”.则下列函
5、数:;,其中是“型函数”的序号为 .解析:设,且,则(1),选;(2),选.来源:Z&xx&k.Com(3),能构成三角形的三边,不能构成三角形的三边,不选.11.已知函数,当时,试求的最大值.解析:,由,得.,.又已知当为常数)满足题设条件,的最大值为.12.对给定的整数,符号表示中使中能被3整除的唯一值,那么 .解析:由二项式定理知,即被3除余1,故.13.设的定义域为,若存在常数,对一切实数都成立,则称为“倍约束函数”,给出下列函数:;是定义在上的奇函数,且满足对一切实数,均有成立.其中为“倍约束函数”的有 个.解析:当时, 对于任意的恒成立;当时,故为“倍约束函数”;当时, 对于任意的恒成立;当时,对任意的均成立;当时,实数不存在,故不是“倍约束函数”;当时,恒成立;当时,不存在满足题意的,故不是“倍约束函数”;当时,为上的奇函数,故是“倍约束函数”.故填2. 5
