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1、几种常见函数的 导 数,成都市新都香城中学数学组,2020年6月21日星期日,一、复习,1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式导数,导数源于实践,又服务于实践.,2.求函数的导数的方法是:,说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数.,3.函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x= x0处的函数值,即 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。,4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f
2、(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率.,5.求切线方程的步骤：,（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,二、新课几种常见函数的导数,根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.,公式1: .,公式2: .,请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握的知识,只能就 的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.,公式3: .,要证明这个公式,必须用到一个常用极限,同理可证,公式4: .,三、例题选讲,例1:求过曲线y=cosx上点P( )且与过这点的切线垂 直的直线方程.,注
3、:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.,O A x,M P,y,例2:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速 运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度.,解:时刻t时,因为角速度1rad/s, 所以 .,故点M的运动方程为:y=10sint.,故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s.,例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由.,解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件.,由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(
4、-sinx0) =-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2.,这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.,练习1:曲线y=sinx在点P( )处的切线的倾斜角为 _.,例4:已知曲线 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且 距离等于 ,求直线m的方程.,设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得:,故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.,例5:求双曲线 与抛物线 交点处切线的夹角.,例6:求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.,说明:曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别. 在点P处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P 未
5、必是切点.应注意概念的区别,其求法也有所不同.,解:设所求切线的切点在A(x0,y0).,因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02 .,又因为函数y=x2的导数为 所以过点A(x0,y0)的 切线的斜率为,由于所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,故其斜率又 应为 .,联立,解得:,故切点分别为(1,1)或(5,25).,当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2;,当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10;,所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),即y=2x-1或y=10 x-25.,练习2:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.,解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有: y0=3x0+1,y0=ax03,3ax02=3.,由,得3x0+1=ax03,由得ax02=1,代入上式可得: 3x0+1=x0,x0=-1/2.,所以a(-1/2)3=1,a=4.,四、小结与作业,1.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) (c为常 数;(2) ;(3) ;(4),2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为 可以直接应用公式的基本函数的模式.,3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综 合性问题.,4.作业:,谢谢！,
