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1、2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,1,第七章,方差分析 Analysis of Variance （ANOVA ),2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,2,学习目标,掌握方差分析中的基本概念； 掌握方差分析的基本思想和原理； 掌握单因素方差分析的方法及应用； 初步了解多重比较方法的应用； 了解双因素方差分析的方法及应用。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,3,学习内容,第一节 方差分析简介 常用术语 基本假定 第二节 单因素方差分析 分析模型 基本思想 分析步骤 多重比较 第三节 双因素方差分析 无交互作用双因素方差分析 有交互作用双因素方差分析,
2、2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,4,7.1 方差分析简介,7.1.1 方差分析中的基本概念 7.1.2 方差分析中的基本假设与检验,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,5,失业保险案例：为什么要进行方差分析？,为了减小失业保险支出、促进就业，政府试图为失业者提供再就业奖励：如果失业者可以在限定的时间内重新就业，他将可以获得一定数额的奖金。政策会有效吗？,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,6,试验数据,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,7,要研究的问题,总体1，1（奖金=1）,总体2，2 （奖金=2）,总体3，3（奖金=3）,总体4
3、，4（奖金=4）,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,8,各个总体的均值相等吗？,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,9,失业保险案例：实验结果,1=无奖金 2=低奖金 3=中奖金 4=高奖金。根据实验结果，可以认为各总体的平均失业时间相同吗？,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,10,研究方法：两样本的t检验？,如果采用t检验法对多个总体均值进行差异显著性检验 ，会出现如下问题： 全部检验过程烦琐，做法不经济 无统一的总体方差估计 ，检验的精度降低 犯第一类错误的概率增大，检验的可靠性降低,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,11,方差
4、分析可以用来比较多个均值,方差分析（Analysis of variance，ANOVA）的主要目的是通过对方差的比较来同时检验多个均值之间差异的显著性。 可以看作t检验的扩展，只比较两个均值时与t检验等价。 20世纪20年代由英国统计学家费喧（R. A. Fisher）最早提出的，开始应用于生物和农业田间试验，以后在许多学科中得到了广泛应用。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,12,ANOVA (analysis of variance),由于方差分析法是通过比较有关方差的大小而得到结论的，所以在统计中，常常把运用方差分析法的活动称为方差分析。 方差分析的内容很广泛，既涉及到
5、实验设计的模式，又关乎数据分析模型中因素效应的性质。本章在完全随机试验设计下，讨论固定效应模型方差分析的基本原理与方法，重点介绍单因素方差分析及两因素方差分析的内容。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,13,7.1.1 方差分析中的几个基本概念,因变量：我们实际测量的、作为结果的变量，例如失业持续时间。因变量也称试验指标，其不同的取值常称为观察值或试验数据。 自变量：作为原因的、把观测结果分成几个组以进行比较的变量例如奖金水平。 在方差分析中，自变量也被称为因素(factor)。 因素的不同表现，即每个自变量的不同取值称为因素的水平。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学
6、课程组,14,7.1.1 方差分析中的几个基本概念,方差分析主要用来研究一个定量因变量与一个或多个定性自变量的关系 只有一个自变量的方差分析称为单因素方差分析。 研究多个因素对因变量的影响的方差分析称为多因素方差分析，其中最简单的情况是双因素方差分析。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,15,为便于理解，在单因素方差分析中，将因 素 的任何一个水平（处理） 看作是一个总体，该水平（处理）下试验 得到的数据可看成是从总体 中抽出的 一个样本，处理的重复数即为样本容量。,7.1.1 ：固定效应与随机效应模型,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,16,若因素 的每一个水
7、平（处理）均做试验，相当于对该因素进行了全面调查。此种情形下，方差分析目的在于：对 比较寻优，即确定因素 的显著影响水平，且该显著影响水平仅在 中有效，在 外无效，一句话，试验数据不能对因素做推断，这属于固定效应模型方差分析范畴。 固定效应模型：因素的所有水平都是由实验者审慎安排而不是随机选择的。,7.1.1 ：固定效应模型,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,17,若只对因素 的部分水平（处理）做试验，相当于对 进行了抽样调查，此种情形下，方差分析目的在于：对因素 的总体变量所服从的分布 进行差异性检验和参数估计，即样本推断总体，这属于随机效应模型方差分析范畴。 随机效应模型：
8、因素的水平是从多个可能的水平中随机选择的。 固定效应和随机效应模型在假设的设置和参数估计上有所差异，本章研究的都是固定效应模型。,7.1.1 ：随机效应模型,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,18,方差分析与回归分析的联系*,回归分析主要用来研究定量自变量和定量因变量之间的关系（第八章学习）。 回归分析中方差分析常常用来检验回归方程的整体显著性。 回归模型中也可以包含定性自变量。这时回归模型与方差分析模型是等价的。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,19,7.1.2：方差分析中的基本假设,（1）在各个总体中因变量都服从正态分布； （2）在各个总体中因变量的方差都
9、相等； （3）各个观测值之间是相互独立的。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,20,（1）正态性的检验,各组数据的直方图 Q-Q图， K-S检验*,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,21,（2）等方差性的检验,经验方法：计算各组数据的标准差，如果最大值与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。 本例中，最大值和最小值的比例等于1.833.32，p-值=0.00020.05，因此检验的结论是采伐对林木数量有显著影响。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,54,7.2.4 方差分析中的多重比较,在方差分析中，不拒绝零假设H0，表示拒绝总体均数相等的
10、证据不足，分析终止；当零假设H0被拒绝时，我们可以确定至少有两个总体的均值有显著差异。但要进一步检验哪些均值之间有显著差异还需要采用多重比较的方法进行分析。这在方差分析中称为事后检验(Post Hoc test)。 多重比较是同时对各个总体均值进行的两两比较。方法很多，如Fisher最小显著差异（Least Significant Difference，LSD）方法、Tukey的诚实显著差异（HSD）方法或Bonferroni的方法等。这里我们只介绍最小显著差异方法。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,55,用LSD法进行多重比较的步骤,1、提出假设 H0: mi = mj H
11、1: mi mj 2、计算检验的统计量 3a、 如果 或 则拒绝H0。 3b、计算 的置信区间： 如果0包含在该置信区间内则不能拒绝H0，否则拒绝H0。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,56,实例：失业保险实验,根据第一个总体和第四个总体计算的t统计量 利用统计软件可以计算出t检验的临界值 由于 ，因此我们有证据表明 无奖金组与高奖金组的再就业时间有显著差异。其他奖金水平效应之间差异的显著性也可以用类似的方法计算。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,57,实例：热带雨林采伐,很多统计软件都可以直接进行多重比较。下表是SPSS对热带雨林例子的输出结果。 置信区间
12、5.3114.03，3.2612.68不包括0，差异显著。 置信区间-6.043.02包括了0，差异不显著。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,58,7.3 双因素方差分析,7.3.1 无交互作用的双因素方差分析 7.3.2 有交互作用的双因素方差分析 7.3.3 双因素方差分析的步骤 7.3.4 贡献率分析,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,59,交互作用,交互作用即一个因素对因变量的影响程度受另一个因素的影响的情况。 假设学生分两类：在校和在职。把两类学生随机分成两组，分别采用课堂讲授和交互式教学方法，考试结果如下表。 可见课堂讲授的方式更适合于在校生，交互
13、式教学方式更适合于在职生。在这种情况下我们说两个因素之间存在着交互作用。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,60,交互作用示意图,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,61,交互作用级,因子间的交互作用会随着因子个数的增加而增加。如四个因子A，B，C，D间的交互作用有以下几类： (1) 二级交互作用有6个： AB， AC， AD， BC， BD， CD； (2) 三级交互作用有4个： ABC， ABD， ACD， BCD； (3) 四级交互作用有1个： ABCD 。 交互作用共有11个，比因子个数还多。实践经验表明，多数交互作用是不存在或者很小以至可以忽略不计的，一
14、般我们主要考虑部分二级交互作用，但考察哪些二级交互作用由具体情况来决定。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,62,双因素方差分析的类型和基本假设,双因素方差分析中因素A和B对结果的影响相互独立时称为无交互作用的双因素方差分析。 如果除了A和B对结果的单独影响外还存在交互作用，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析 。 双因素方差分析中的基本假设是各个子总体都服从正态分布，有相同的方差，并且各个观测值之间相互独立（与单因素时相同）。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,63,7.3.1 无交互作用双因素方差分析数据结构,2020/6/21,版权所有 BY
15、 统计学课程组,64,7.3.1无交互作用的双因素方差分析模型,在无交互作用的双因素方差分析模型中因变量的取值受四个因素的影响：总体的平均值；因素A导致的差异；因素B导致的差异；以及误差项。写成模型的形式就是：,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,65,无交互作用的双因素方差分析模型,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,66,离差平方和的分解,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,67,无交互作用的双因素方差分析表,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,68,7.3.2 有交互作用的双因素方差分析数据结构,2020/6/21,版权所有 BY
16、统计学课程组,69,7.3.2 有交互作用的双因素方差分析模型,在有交互作用的双因素方差分析模型中因变量的取值受五个因素的影响：总体的平均值；因素A导致的差异；因素B导致的差异；由因素A和因素B的交互作用导致的差异；以及误差项。写成模型的形式就是：,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,70,7.3.2 有交互作用的双因素方差分析模型,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,71,离差平方和的分解,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,72,有交互作用的双因素方差分析表,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,73,7.3.3 双因素方差分析的步骤（1）,双因素方差分析的步骤与单因素分析类似，主要包括以下步骤： 1.分析所研究数据能否满足方差分析要求的假设条件，需要的话进行必要的检验。如果假设条件不满足需要先对数据进行变换。,2020/6/21,版权所有 BY 统计学课程组,74,7.3.3 双因素方差分析的步骤（2）,2、提出零假设和备择假设。双因
