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1、电磁感应双杆问题 排除动量范畴 1 导轨间距相等 例 3 04 广东 如图所示 在水平面上有两条平行导电导轨MN PQ 导轨间距离为l 匀强磁场垂直于导轨所在平面 纸面 向里 磁感应强 度的大小为B 两根金属杆1 2 摆在导轨上 与导轨垂 直 它们的质量和电阻分别为 1 m 2 m和 1 R 2 R 两杆 与导轨接触良好 与导轨间的动摩擦因数为 已知 杆 1 被外力拖动 以恒定的速度 0沿导轨运动 达到稳 定状态时 杆2 也以恒定速度沿导轨运动 导轨的电阻 可忽略 求此时杆2 克服摩擦力做功的功率 解法 1 设杆 2 的运动速度为v 由于两杆运动时 两 杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化
2、产生感 应电动势 0 vvBlE 感应电流 21 RR E I 杆 2 作匀速运动 它受到的安培力等于它受到的摩擦力 gmBlI 2 导体杆 2 克服摩擦力做功的功率gvmP 2 解得 21 22 2 02 RR lB gm vgmP 解法 2 以 F 表示拖动杆1 的外力 以I 表示由杆1 杆 2 和导轨构成的回路中的电流 达 到稳定时 对杆1 有0 1 BIlgmF 对杆 2 有 0 2g mBIl 外力 F的功率 0 FvPF 以 P表示杆 2 克服摩擦力做功的功率 则有 0121 2 gvmRRIPP F 由以上各式得 21 22 02 RR lB gm vgmP g 2 导轨间距不等
3、 例 4 04 全国 如图所示中 1111 dcba和 2222 dcba为在同 一竖直平面内的金属导轨 处在磁感应强度为B的匀强磁 场中 磁场方向垂直导轨所在的平面 纸面 向里 导轨 的 11b a段与 22b a段是竖直的 距离为 1 l 11d c段与 22d c 段也 是竖直的 距离为 2 l 11y x和 22y x为两根用不可伸长的绝 缘轻线相连的金属细杆 质量分别为 1 m和 2 m 它们都垂 直于导轨并与导轨保持光滑接触 两杆与导轨构成的回路 的总电阻为R F 为作用于金属杆 11y x上的竖直向上的恒 力 已知两杆运动到图示位置时 已匀速向上运动 求此 时作用于两杆的重力的功
4、率的大小和回路上的热功率 解 设金属杆向上运动的速度为 因杆的运动 两杆与 导轨构成的回路的面积减少 从而磁通量也减少 由法拉第电磁感应定律 回路中的感应电 动势的大小 21 llBE M2 1 N 0 v 回路中的电流 R E I方向沿着顺时针方向 两金属杆都要受到安培力的作用 作用于杆 11y x的安培力为 11 BILf 方向向上 作用 于杆 22y x的安培力为 22 BILf 方向向下 当金属杆作匀速运动时 根据牛顿第二定律有 0ffgmgmF 2121 解以上各式 得 12 21 llB gmmF I 212 2 21 llB gRmmF 作用于两杆的重力的功率 gmm llB g
5、RmmF P 21 212 2 21 电阻上的热功率 R llB gmmF RIQ 2 12 212 3 两导体棒切割磁感线引起的 双电源 问题 两导体棒反向运动 例 5 95 高考 两根相距20m0d 的平行金属长导轨固定在同一水平面内 并处于竖 直方向的匀强磁场中 磁场的磁感应强度20T0B 导轨上面横放着两条金属细杆 构成矩形 回路 每条金属细杆的电阻为250r 回路中其余部分的电 阻可不计 已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿 导轨朝相反方向匀速平移 速度大小都是s0m5 如图所 示 不计导轨上的摩擦 1 求作用于每条金属细杆的拉力的大小 2 求两金属细杆在间距增加40m0 的滑
6、动过程中共产生的热量 解 1 当两杆都以速度向相反方向匀速运动时 每杆所受的安培力和拉力平衡 每 个金属杆产生的感应电动势分别为BdEE 21 由闭合电路的欧姆定律 回路的电流强度 r Bd 2r EE I 21 拉力N1023BIdFF 2 21 2 设两个金属杆之间增加的距离为 L 增加 L 所用的时间 2 L t 由焦耳定律 两金属杆共产生的热量为J10281 2 L 2rIt2rIQ 222 两导体棒同向运动 例 7 03 全国 两根平行的金属导轨 固定在同一水平面 上 磁感强度50T0B 的匀强磁场与导轨所在平面垂直 导轨的 电阻很小 可忽略不计 导轨间的距离20m0l 两根质量均为
7、 10kg0m 的平行金属杆甲 乙可在导轨上无摩擦地滑动 滑动过 程中与导轨保持垂直 每根金属杆的电阻为500R 在 t 0 时 刻 两杆都处于静止状态 现有一与导轨平行 大小为20N0 的恒 力 F 作用于金属杆甲上 使金属杆在导轨上滑动 经过0s5t 金属杆甲的加速度为 2 s37m1a 问此时两金属杆的速度各为多 少 解 设任一时刻t 两金属杆甲 乙之间的距离为 x 速度分别为 1和2 经过很短的时间 t 杆甲移动距离t 1 杆乙移动距离t 2 回路面积改变tlS 21 乙 甲 F 由法拉第电磁感应定律 回路中的感应电动势 t S BE电流 2R E I 杆甲的运动方程maBIlF 由于
8、作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等 方向相反 所以两杆的动量等于外力F的冲 量 21 mmFt 联立以上各式解得s15m8 lB maFR m Ft 2 2 1 22 1 s85m1 lB maFR m Ft 2 2 1 22 2 同向运动中绳连 的 双杆滑动 问题 两金属杆ab 和 cd 长均为 l 电阻均为R 质量分别为M 和 m M m 用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭 合回路 并悬挂在水平光滑不导电的圆棒两侧 两金属杆处在水平位置 如图 4 所示 整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中 磁感强 度为 B 若金属杆ab 正好匀速向下运动 求运动速度 解析 设
9、磁场垂直纸面向里 ab 杆匀速向下运动时 cd 杆匀速向上 运动 这时两杆切割磁感线运动产生同方向的感应电动势和电流 两棒 都受到与运动方向相反的安培力 如图5 所示 速度越大 电流越大 安培力也越大 最后ab 和 cd 达到力的平衡时作匀速直线运动 回路中的感应电动势 12 2EEEBlv 回路中的电流为 2 EBlv I RR ab 受安培力向上 cd 受安培力向下 大小都为 2 2 B l v FBIl R 设软导线对两杆的拉力为T 由力的平衡条件 对 ab 有 T F Mg 对 cd 有 T mg F 所以有 2 2 2 B l v Mm g R 解得 2 2 2 Mm gR v B
10、l 4 双杆模型在磁场中运动的收尾问题 1 如图 金属杆ab 以初速度 0向右运动 则 ab 受安 培力做减速运动 而cd 受安培力做加速运动 则两者最 终速度多少 若 ab 和 cd 的轨道不同宽 如lab lcd 2 则最终速度多少 2 如图所示 ab 在恒定外力F作用下由静止开始运动 则两者最终加速度是多少 类 型 水平导轨 无水平外力不等间距导轨 无水平 外力 水平导轨 受水平外 力 竖直导轨 R a b v0 d c R a b F d c 终 态 分 析 两导体棒以相同的速度 做匀速运动 两导体棒以不同的速 度做匀速运动 两导体棒以不同的 速度做加速度相同 的匀加速运动 两导体棒以
11、相同的 速度做加速度相同 的匀加速运动 速 度 图 象 解 题 策 略 动量守恒定律 能量守恒 定律及电磁学 运动学知 识 动量定理 能量守恒定 律及电磁学 运动学知 识 动量定理 能量守恒 定律及电磁学 运动 学知识 动量定理 能量守 恒定律及电磁学 运动学知识 补充类型题 两根相距为 L 的足够长的金属直角导轨如图所示放置 它们各有一边在同一水平内 另一边垂直于水平面 质量均为m 的金属细杆ab cd 与导轨垂直接触形成闭合回路 杆与导轨之间的动摩擦因数均为 导轨 电阻不计 回路总电阻为2R 整个装置处于磁感应强度大小为B 方向竖直向上的匀强磁场中 当ab 杆在 平行于水平导轨的拉力F 作
12、用下以速度V1沿导轨匀速运动时 cd 杆也正好以速度V2向下匀速运动 重力 加速度为 g 以下说法正确的是 A ab 杆所受拉力F 的大小为 mg B cd 杆所受摩擦力为零 C 回路中的电流强度为 D 与 V1大小的关系为 解析 因 4 个选项提出的问题皆不同 要逐一选项判断 因为 ab 杆做匀速运动 所以受力平衡 有 其中 所以 所以F mg A 正确 因为 cd 杆在竖直方向做匀速运动 受力平衡 所以 cd 杆受摩擦力大小为 或者 因为 cd 杆所受安培力作为对轨道的压力 所以 cd 杆受摩擦力大小为 总之 B 错误 因为只有 ab 杆产生动生电动势 cd 杆运动不切割磁感线 所以回路中
13、的电流强度为 C 错误 根据 B中和 得 所以 D 正确 综合 如图所示 两电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角30 导轨间距 l 所在 平面的正方形区域abcd内存在有界匀强磁场 磁感应强度为0 2BT 方向垂直斜面向上 将 甲乙两电阻阻值相同 质量均为 0 02m kg 的相同金属杆如图放置在导轨上 甲金属杆处在 磁场的上边界 甲乙相距也为l 其中0 4lm 静止释放两金属杆的同时 在甲金属杆上 施加一个沿着导轨的外力F 使甲金属杆在运动过程中始终做沿导轨向下的匀加速直线运 动 加速度大小5m s2 取10gm s 2 1 乙金属杆刚进入磁场时 发现乙金属杆作匀速运动 则甲乙的电阻
14、 R 为多少 2 以刚释放时0t 写出从开始到甲金属杆离开磁场 外力F 随时间 t 的变化关系 并 说明 F的方向 3 乙金属杆在磁场中运动时 乙金属杆中的电功率多少 4 若从开始释放到乙金属杆离开磁场 乙金属杆中共产生热量 1 30 QJ 试求此过程中 外力 F对甲做的功 l l l a b c d B 甲 乙 第 36 题 1 甲乙加速度相同 5m s 2 当乙进入磁场时 甲刚出磁场 1 分 乙进入磁场时smglv 2sin2 1 分 乙受力平衡 R vlB Fmg 2 sin 22 1 分 sin2 22 mg vlB R 064 0 5 01002 02 24 02 0 22 1 分
15、2 甲在磁场中运动时 ttav5 1 分 外力 F始终等于安培力 tlB R Blv IlBFF A 25 0 2 2 分 F方向沿导轨向下 1 分 3 乙在磁场中作匀速运动 1 0 2 2 2 wR R Blv RIP 2 分 4 乙进入磁场前 甲乙发出相同热量 设为Q1 此过程中甲一直在磁场中 外力F 始终等于安培力 则有WF W 安 2 Q1 1 分 乙在磁场中运动发出热量Q2 利用动能定理mg lsin 2 Q2 0 1 分 得 Q2 甲乙发出相同热量Q1 Q Q2 2 1 75 1 分 由于甲出磁场以后 外力F为零 得 WF 2 Q1 2 75 1 分 另解 整个过程甲 乙通过的电流
16、相同 所以发出的热量相同 总热量为2Q 1 分 根据能量守恒 由于甲在磁场中是a 5m s gsin 所以甲金属杆下滑时重力做功全部转 化成动能 外力做功WF转化成电能 离开磁场后外力为零 不做功 1 分 乙金属杆进入磁场后 是匀速运动 重力做功转化为电能 WG mglsin 1 分 WF WG 2Q WF 2Q WG J 1 分 如图所示 两条平行的金属导轨相距L lm 水平部分处在竖直向下的匀强磁场B1中 倾斜部分与水平方向的夹角为 37 处于垂直于斜面的匀强磁场B2中 两部分磁场的大小均为 金属棒 MN 和 PQ 的质量均为m 电阻分别为RMN 和 RPQ MN 置于水平导轨上 与水平导轨间的动摩擦因数 PQ 置于光滑的倾斜导轨上 两根金属棒均与导轨 垂直且接触良好 从 t 0 时刻起 MN 棒在水平外力F1的作用下由静止开始以 a 2m s 2 的加速度向右做匀加速直线运 动 PQ 则在平行于斜面方向的力F2作用下保持静止状态 不计导轨的电阻 水平导轨足够长 MN 始终在水平导轨 上运动 求 1 t 5s 时 PQ消耗的电功率 2 t 0 时间内通过PQ棒的电荷量 3 规定图示
