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1、 ANSHUN UNIVERSITY专科生毕业论文（设计）（20102013年）题 目： 导数及其性质在不等式中的应用 系 别： 数学与计算机科学系 专业班级： 数学教育2010级 学生姓名： 学号： 201002053038 指导教师： 职称： 副教授 起讫日期： 2012.9.12013.4.30 l导数及其性质在不等式中的应用 专业：数学教育 学 号：201002053038 姓名： 指导教师：摘 要不等的式证明是数学学习中的重要内容之一,其常用的有：微分中值定理、导数的概念、函数的极值与最值、泰勒公式、两导数不等性质等。导数作为微积分学的基本内容利用其证明不等式是一种行之有效的好方法。
2、在函数的导数可以用极限概念定义在数学中的应用非常广泛涉及到各个方面。应用导数处理问题提高学生的思维能力突出了通法淡化了技巧利用导数分析函数的性态是一种重要手段。在分析函数的图象、判断函数的单调性、求解函数的最值等方面利用导数可使复杂问题简单化、程序化。因此在学习导数这部分内容时不仅要掌握导数的概念、求导公式和求导法则还要学会导数在函数单调性和最值等问题上的应用。同时导数是我们研究数学的一个有力工具，有助于我们对数学的深入学习,它能将某些不等式的证明化难为易，迎刃而解。关键词：不等式 导数 函数 应用lDerivative and its application properties in in
3、equality Range type proved to be one of the important content in mathematics study, thecommonly used are: the differential mean value theorem, the concept of derivative and function extremum and the value range, Taylor formula, two derivative properties, etc. Derivative as the basic content of calcu
4、lus with inequality on the proof is an effective good method. In the concept of derivative can be used to limit function defined in the application of mathematics is widely involved in various aspects.Applicationderivative on improving the students thinking ability highlighted to deal withproblems m
5、ethod played down the skill of derivative analysis function is an importantmeans. In images, judgment analysis function monotonicity of function, solving the most valueoffunction derivative can simplify complex issues and sequencing. So when learning derivative this part not only to grasp the concep
6、t of derivative and derivative formula and learn to derivative in a derivative method function monotonicity and the most value problems. Derivative at the same time is a powerful tool, we study math can help us to learn more math, it can certain inequality proof of hard, too.Keywords: Inequality der
7、ivative function applicationl目 录摘要Abstract引 言1第一章 导数的概念及其性质2 1.1导数的概念2 1.1.1导数的定义2 1.1.2几何意义2 1.2导数的性质2第二章 导数在不等式中的应用4 2.1利用微分中值定理证明不等式4 2.1.1知识回顾4 2.1.2微分中值定理在不等式证明中的应用4 2.1.3拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用5 2.1.4柯西中值定理在不等式证明中的应用.5 2.2利用导数定义证明不等式6 2.3利用函数的极值与最值证明不等式7 2.3.1函数极值的相关理论7 2.3.2函数最值的相关理论9 2.4利用函数的凹凸性质
8、证明不等式11 2.5利用泰勒公式证明不等式11 2.6利用两导数不等性质证明不等式12总结14参考文献15致谢16l引 言 导数最早是由法国数学家费马为研究极值问题而提出的，无论在初等数学还是在高等数学中，导数都处于重要的地位。导数是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具。导数的应用非常广泛：例如利用导数判断函数的单调性、极值和凹凸性等。不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。在不等式的证明中不同的类型有不同的解法，如果题目给出的函数可导时，利用导数去证明不等式是一种行之有效的办法。导数也是微积分的核心概念之一，在教材中体
9、现了承上启下的作用，在不等式研究中也占有举足轻重的位子。导数在不等式证明中的应用已经在国内外都取得了一定的研究成果，特别是采用的方法更是有着百花齐放的壮观目前在这方面国内有了比较全面深度的研究，国外的研究更侧重深度的展开。导数在不等式中应用是数学的重要知识是研究数学的重要工具和手段。导数是高中数学与大学数学分析的衔接点，受到广大师生的高度重视也是数学思想体现最丰富的知识点。我将从教材入手从易到难在一些题目中突出导数在不等式应用中的作用和导数相关的一些微分知识谈谈导数在不等式中的具体应用，是我们研究数学的一个有力工具它使各个环节的内容联系的更加紧密有助于我们对数学的深入学习。因此,很多时候可以利
10、用导数作为工具得出函数性质,从而解决不等式问题。 l第一章 导的概念及其性质数1.1导数的概念1.1.1导数的定义 左导数： 右导数： 可以证明：可导连续 即：可导是连续的充分条件, 连续是可导的必要条件： 导函数：1.1.2 几何意义（如图）曲线在点处的导数在几何上表示为：曲线在点A处切线的斜率。即（是过A点的切线的倾斜角）（如图）则，曲线在点A处切线方程为：2.2导数的性质性质1：若函数是偶函数且可导，则其导函数是奇函数。证明：由是偶函数，有则： 所以，是奇函数同理：若函数是奇函数且可导，则其导函数是偶函数。性质2：若函数是周期函数且可导，则其导函数也是周期函数。证明：是周期，有所以，是周
11、期函数。性质3：若函数可导且图象关于直线对称，则其导函数图象关于点对称证明：函数图象关于对称，有,且点在的图象上，所以图象关于点对称同理：若函数可导且图象关于点对称，则其导函数图象关于直线对称第二章 导数在不等式中的应用2.1利用微分中值定理证明不等式求2.1.1知识回顾(1) 拉格朗日中值定理：若函数满足:在闭区间 连续;在开区间内可导. 则在 内至少存在一点,使。拉格朗日中值定理也称中值公式或拉格朗日公式,它也经常用另一种形式表示，由于是在 内的一个中值点,也可表示成 的形式, 于是定理的结论就可改为在 中至少存在一个值，使。 (2) 柯西中值定理：设函数和 满足: 在上都连续;在 内都可
12、导; 和 不同时为零; ,则存在,使得： 柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系，当一个函数取自变量自身时，它就是拉格朗日中值定理，所以柯西中值定理和拉格朗日中值定理之间有着必然的联系,其转化过程非常巧妙,在研究不等式时,要看清题意,分析题给的条件,确定符合条件所对应的中值定理。 2.1.2 微分中值定理在不等式证明中的应用 例1: 证明: 当时, 分析：要证不等式即 由柯西中值定理有 即只要证明 ，亦即2.1.3 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 利用拉格朗日中值定理(若经过简单变形, 不等式的一端可写要证明的命题是区间内至少有一点大于(或小于) 零, 可以尝试
13、使用拉格朗日中值定理。 例2: 设,证明： 分析:观察命题结构，可以构造函数,又因为，这可以分区间应用拉格朗日中值定理。在应用拉格朗日中值定理到:=，又由于.证明也就迎刃而解了。分析过程我们要学会思考、联想和知识迁移。 证明：设,则 对于在.由拉格朗日定理知: 即 由于又 所以 在应用定理2.1.1时，可以先构建辅助函数并确定使用拉格朗日中值定理的区间对在上使用拉格朗日中值定理，再根据与之间的关系，对拉格朗日公式加强不等式。对于不能直接应用定理证明的.在利用拉格朗日中值定理进行问题证明时, 。主要是构建辅助函数，先结论出发，观察问题特征，分析问题可能用到的辅助函数，最后对问题作相应的变形，这是
14、构造辅助函数关键，有了辅助函数就可以直接应用中值定理得出结论。2.1.4柯西中值定理在不等式证明中的应用 例3: 设，当时，求证:-. 分析：由题意可知，通过变型，不等式可以等价为：，当时结论显然成立，当时，可以选取两区间或，在该区间上可以构造函数 ，则对其求导为：，所以,再结合题意，由于条件满足柯西中值定理，则就可以利用柯西中值定理进行证明了。 证明：由柯西中值定理得 , 或，即 当 时，即 又，故，即 -当时，即 , 又 ,故 即 - . 经上叙述, 我们可以看到：研究两个函数的变量关系时，我们就会想到柯西中值定理，在用柯西中值定理证明不等式命题时,关键是要在对结果进行整理变形的基础上, 找出满足柯西中值定理的那两个函数。综上可知,在应用柯西中值定理时，导数发挥了很大的作用了，特别是研究函数在区间上的整体形态时，考虑应用柯西中值定理是最合适的,且它有着广泛的应
