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1、1已知直线l1的一个方向向量为a(1，2,1)，直线l2的一个方向向量为b(2，2,0)，则两直线所成角的余弦值为_解析：cosa，b.所以两直线所成角的余弦值为.答案：2若直线l的方向向量为a(2,3,1)，平面的一个法向量为n(4,0,1)，则直线l与平面所成角的正弦值等于_解析：sin.答案：3若一个锐二面角的两个半平面的法向量分别为m(0,0,3)，n(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为_解析：cos.答案：4在长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若CMN90，则异面直线AD1与DM所成的角为_解析：分别以D1A1、D1C1、D1D所在直线为x轴
2、、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)设D1A1a，D1C1b，D1Dc，则M(a，b，)，N(，b,0)，C(0，b，c)，A(a,0，c)，(，0，)，(a,0，)又CMN90，0.a2.又(a，b，)，(a,0，c)，a20.答案：90一、填空题1若平面的一个法向量为n(3,3,0)，直线l的一个方向向量为v(1,1,1)，则l与所成角的余弦值为_解析：设l与所成角为，则sin|cosn，v|，cos.答案：2在一个二面角的两个面内各有一个与二面角的棱垂直的向量n1(0，1,3)和n2(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为_解析：由cosn1，n2，知这个二面角的余弦值为或.答案：或3在
3、直角坐标系中，已知A(2,3)，B(2，3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为的二面角AOxB，使AOB90，则cos等于_解析：过A、B分别作x轴垂线，垂足分别为A、B(图略)，则AA3，BB3，AB4，OAOB，折后，AOB90，AB，由，得|2|2|2|22|cos()269169233cos()，cos.答案：4在边长为a的正三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，BCa，这时二面角BADC的大小为_解析：依题意BDC为二面角BADC的平面角，在BCD中，BDCD，BCa，所以BADC60.答案：605在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABCD为正方形，且PDAB
4、1，G为ABC的重心，则PG与底面ABCD所成角的正切值为_解析：连结BD，则GBD，由PD面ABCD知PGD为所求角因为PDAB1，G为ABC重心，所以DGBD.因此tanPGD.答案：6如图，将等腰直角三角形ABC沿中位线DE将其折成60的二面角ADEB，则直线AB与平面BCDE所成角的正切值是_解析：如图，DE平面ADC，ADC为二面角ADEB的平面角，即ADC60，又ADDC，ADC为正三角形由面ADC面BCDE，过A作AFDC于F，则AF面BCDE，ABF为AB与面BCDE所成角设AD1，则在RtAFB中，AF，BF，tanABF.答案：7.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，
5、ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的度数是_答案：608.如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为_解析：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(1,0,0)，M(1，1)，C(0,1,0)，N(1,1，)，(0，1)，(1,0，)cos，.答案：二、解答题9如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a.(1)建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，A1，C1的坐标
6、；(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角解：(1)如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系由已知得A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1(a，a)(2)取A1B1的中点M，则M(0，a)，连结AM，MC1，有(a,0,0)，且(0，a,0)，(0,0，a)，MC1面ABB1A1.与所成角即为所求的角02a2a2，又| a，|a，cos，30，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.10.在矩形ABCD中，AB2，BCa，且PA平面ABCD，PA1.(1)若在边BC上存在一
7、点Q，使PQQD，求a的取值范围；(2)当边BC上存在惟一点Q，使PQQD时，求二面角APDQ的余弦值解：(1)以、为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系，则B(0,2,0)，C(a,2,0)，D(a,0,0)，P(0,0,1)设Q(t,2,0)(t0)，则(t,2，1)，(ta,2,0)，PQQD，t(ta)40，即t2at40，at4.故a的取值范围为4，)(2)由(1)知，当t2，a4时，边BC上存在惟一点Q，使PQQD，此时Q(2,2,0)，D(4,0,0)，设n(x，y，z)是平面PQD的法向量，由得.取x1，则n(1,1,4)是平面PQD的一个法向量而(0,2,0)是平面PAD的一
8、个法向量，cos，n.二面角APDQ的余弦值为.11.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点(1)试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F；(2)当D1E平面AB1F时，求二面角C1EFA的余弦值解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系(1)设DFx，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，E(1，0)，F(x,1,0)(1，1)，(1,0,1)，(x,1,0)，110，即D1EAB1.于是D1E平面AB1FD1EAF0x0，即x.故当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.(2)当D1E平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，则EFBD.连结AC，设AC与EF交于点H，则AHEF.连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影C1HEF，即AHC1是二面角C1EFA的平面角C1(1,1,1)，H(，0)，(，1)，(，0)cosAHC1.即二面角C1EFA的余弦值为.
