《2020高中数学 2.1.1N次方根的概念及性质教案 新人教A版必修1（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高中数学 2.1.1N次方根的概念及性质教案 新人教A版必修1（通用）（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、n次方根的概念和性质一、教学分析分数指数幂是必修一第二章第一节的内容，是研究基本初等函数之一的指数函数的基础。分数指数幂不同于整数指数幂，要理解分数指数幂，首先要深入理解n次方根的概念和性质.根式的概念教学是一个难点，但它是后续学习所必需的。教学中可考虑以具体的例子为载体，类比平方根、立方根的定义，给出n次方根的定义，可以在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子。将平方根和立方根的性质推广到n次方根时，多给学生提供一些实例，经过比较让学生自己归纳出结论。教学时，要让学生充分体会当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。对于结论0的n次方根都是0，要启发学生用n次方根的定义去
2、理解。根式的概念源于方根的概念，根据n次方根的意义就能得到n次方根的性质1。但性质2是不能由n次方根的意义直接得出的，因此，教学中可让学生从具体实例中自己探究归纳得出结论。二、学情分析学生在义务阶段的学习中已经知道了平方根和立方根的概念，掌握了平方根和立方根的相关性质。然而知识需在运用中得到巩固，学生较长时间不接触平方根和立方根的知识，所以在教学中以正方形的面积和正方体的体积为例，帮助学生回顾平方根和立方根的概念。教学中要充分利用学生已有的知识，着眼于学生的最近发展区，为学生提供学生感兴趣的的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能。由此，学生将很容易类比平方根和立方根的知识，得出n次方根的概念及其
3、表示方法。然而，让学生直接抽象地得出n次方根的相关性质，难度很大，学生的抽象概论能力还需进一步培养，所以，教学中应用大量丰富的实例，让学生从实例中观察，归纳得出结论。通过本节课的学习，不仅要求学生掌握n次方根的相关知识，同时要培让学生感受基本数学思想，数学方法。三、教学目标：（1）知识与技能：n次方根的概念，根式的性质（2）过程与方法：类比平方根和立方根，得出n次方根的概念；根据n次方根的概念，结合具体实例，总结n次方根性质；（3）情感态度价值观：类比思想，分类讨论思想；四、教学重难点重点：n次方根的概念和性质，难点：n次方根的性质五、教学过程1.触景生情问题1 据国务院发展研究中心2000年
4、发表的未来20年我国发展前景分析判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到。如果把我国2000年的GDP看成是1个单位，那么 （1）1年后（即2001年），我国的GDP可望为2000年的 倍；（2）2年后（即2002年），我国的GDP可望为2000年的 倍；（3）年后，设我国的GDP可望为2000年的倍，则 ；问题2 生物在生存的时候，由于需要呼吸，其体内的碳14含量大致不变，生物死去后会停止呼吸，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系：。考古学
5、家由此判断生物体死亡时间。（按照惯例，人们将生物体死亡时，每克组织的碳14含量作为1个单位）（1）当生物死亡了5730年后，它体内的碳14含量P的值为原来的 .（2）当生物死亡了57302年后，它体内的碳14含量P的值为原来的 .（3） 当生物死亡了6000年后，它体内的碳14含量P的值为原来的 .经济学中有数学，考古学中有数学，数学来源于生活，又作用于生活. 这里的两个问题都与本章我们要学习的“基本初等函数”之一的指数函数有关.要学习指数函数，我们要先掌握一些指数及指数幂的运算，而这些知识都以根式为基础。所以本节课我们来学习根式。 【设计意图】作为一章的起始课，重视编者精心打造的章引言，充分
6、发挥它的价值，荷兰数学教育家弗莱登塔尔曾经说过；“数学是现实的，学生应从现实生活中学数学，再把学到的数学用到现实中去”希望通过这一环节的设计，体会到数学与生活是密不可分的，激发学生探究分数指数幂的兴趣和欲望，为新知识学习作铺垫.2.温故知新问：如果已知一个正方形的面积为,那么它的边长是多少？集体回答：如果一个正方形的面积为,那么边长为.问：如果已知一个正方体的体积为,那么它的棱长是多少？集体回：如果一个正方体的体积为,那么棱长为。问：这里的是的算术平方根，是的立方根。你还记得平方根、立方根的定义吗？单人回答：如果一个实数满足，那么称为的平方根，也叫二次方根.例如，则叫做的平方根；如果一个实数满
7、足，那么称为的立方根，也叫三次方根.例如，则叫做的立方根.3.借水行舟探究1：n次方根的定义问：类似地，由于（板书在黑板的右边区域），我们可以把叫做16的什么？ ，（板书在黑板的右边区域），我们可以把叫做32的什么？集体回答：叫做16的4次方根，叫做32的5次方根.问：一般的，若是呢，我们可以把叫做的什么？（此时将板书在黑板的左边，预留空白）单人回答：如果一个实数满足，那么叫做的次方根. （此时将黑板左边预留的空白补充完整，先补充那么叫做的次方根，再补充n的范围）师补充：。结合实例，如取偶数4时，则叫做16的偶次方根；如取奇数5时，则是的奇次方根。并且，n取偶数4时, 和的都是16的4次方根,
8、而n取奇数5时，仅有2是32的5方根,由此，我们可以发现一个数的n次方根个数有什么样的差别呢？与n的奇偶性有关，需要分情况讨论. 结合实例进一步思考，实例 ， ， ， 类比立方根的情形，思考当n是奇数时，一个数的奇次方根有几个，如何表示？ 类比平方根的情形，思考当n是偶数时，一个数的偶次方根有几个，如何表示？ (1) 类比立方根的情形，当n是奇数时，一个数的奇次方根有几个？当是奇数时，的次方根仅有一个，负数的次方根是一个负数，正数的次方根是一个正数。类比立方根的情形，当n是奇数时，一个数的奇次方根可以如何表示？当是奇数时，类比立方根的记号如，这时的次方根用符号表示，其中叫做根指数，且，(2)
9、类比平方根的情形，当n是偶数时，一个数的偶次方根有几个？当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数。负数没有偶次方根，因为根据n次方根的定义，需要找到一个实数满足，且实数为负数，为偶数，此方程是无解的，即找不到满足定义的实数。类比平方根的情形，当n是偶数时，一个数的偶次方根可以如何表示？当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数，这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示。正的次方根和负的次方根可以合并写成，如。其中根指数，当，省略不写。（3）0的n次方根呢？为什么？根据定义，0的任何次方根都是0。是偶数时，即具有双重非负性，这一性质在求值中有重要作用。师补充总结：
10、此处我们类比平方根和立方根的表示方法，运用分类讨论的数学思想，得到了一个数的次方根的个数及表示。在表示过程中，引入了新的数学符号，即根式，式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数。【设计意图】通过对平方根和立方根的类比分析，进一步感知n次方根的定义，通过表示一个数的n次方根，掌握分类的原则，从中类比分析，分类讨论的数学思想，提升解决问题的能力辨析：下列说法中正确的个数为（ ） （1）16的4次方根是2； （2）因为,所以的运算结果为 ； （3）的5次方根是 ； （4）当为大于1的偶数时，只有当 时才有意义； A.1个B.2个C.3个 D.4个探究3：n次方根的性质求一个数的次方根的运算叫做开
11、次方，它与乘方是多少互为逆运算.我们知道乘方运算有一些基本的运算性质，那么开次方运算是否有一些的运算性质呢？请同学们完成导学案上的探究3，再小组讨论，通过这些练习，你能发现什么规律，并进行总结。【设计意图】考虑到学生的基础，设计了如下问题让学生深入理解n次方根的概念，在培养观察归纳能力的同时，适当进行思辨论证（1） 师： 为什么？生：直觉。或者类比师：紧扣定义进行分析： 代表的意义是什么？生：是指的5次方根，根据n次方根的定义，这个数应该满足方程，即师：若将此推广到一般情形可以怎么表达呢？生：师：上式中的字母有无限制？生：，当根指数是偶数时，被开方数应为非负数，当根指数是奇数时，被开方数可为任
12、意实数。（2） 师： 为什么？生1： 类比生2：分析，代表的意义是什么？是指的4次方根，设，根据n次方根的定义，这个数应该满足方程，解方程得到，即原式为。师：一般地情形呢？生：当为大于的奇数时，。当为大于的偶数时，。师补充总结：由此我们得到了的次方根的两个重要性质。注意，。此问题的结果需要分情况讨论，为大于的奇数时，当为大于的偶数时，。在研究过程中，我们从一些具体的实例出发，通过计算，观察规律，得到猜想，并紧扣的次方根的定义进行说明。从中也体现了研究数学问题的一般方法，即计算，观察，类比猜想，证明。【设计意图】通过实例计算，进一步利用n次方根的定义，证明n次方根的相关性质，培养学生的抽象概括能
13、力，培养学生研究数学问题的能力.4.乘风破浪例1.求下列各式的值 例2.化简下列各式 例3. 5.回头望月师：通过本节课的学习，你有哪些收获？（引导学生从知识点进行总结，最后给出本节课的知识体系，强调两个性质的区别及使用的注意事项）生：1.n次方根的定义，如果一个实数满足，那么称为的次方根.2.n次方根的表示nn是奇数n是偶数a的正负a的n次方根无意义3.n次根式的性质（1）（2）当为大于的奇数时，。当为大于的偶数时，。师：通过本节课的学习，你还有哪些收获？（引导学生从数学思想方法上总结）生：类比比平方根和立方根已有的知识，运用分类讨论的数学思想，体验了研究数学问题的一般方法，即计算，观察，类
14、比猜想，证明。师：数学知识是基础，数学方法是手段，数学思想是本源。问渠那得清如许，为有源头活水来，数学思想就是我们解决数学问题的源泉。N次方根和分数指数幂之间有什么关系呢？我们下次课一起来探究这些问题。六、授课反思我此次授课的课题为n次方根的概念及性质，是必修1第二章第一节分数指数幂的第一课时。教学环节如下:通过类比学生熟悉的平方根和立方根的知识，得出n次方根的概念；根据n次方根的概念，分n的奇偶性讨论一个数的n次方根的表示方法；结合具体实例，归纳n次方根性质。通过本节课的学习，要求学生能够掌握n次方根的概念和性质，体会基本的数学思想，如类比思想，分类讨论思想，整体思想等，感受研究数学问题的一般方法和思路。总览整个教学过程，我注重了以下几个方面。1.注重概念产生的背景，以人类生产生活中的实例引入，产生思维冲击当幂指数是分数时的意义是什么？兴趣是最好的老师，这样的疑问自然为后面的教学奠定了基础，进而引出n次方根的概念探究。2.关注学生对于数学概念的理解。虽然n次方根的两个性质学生都能归纳猜想得出，却难以说出其中的缘由。毕达哥拉斯曾说过，在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是
