《高考数学总复习等差(比)数列的基本概念及运算 新课标 人教版(通用)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学总复习等差(比)数列的基本概念及运算 新课标 人教版(通用)(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、高考数学总复习等差(比)数列的基本概念及运算【复习目标及教学建议】复习目标:1理解等差数列、等比数列的定义.2理解等差中项、等比中项的概念.3掌握等差、等比数列通项公式.4掌握等差、等比数列前n项和公式.教学建议:本节重在等差、等比数列的判定,教师可提供各种情形,如推递关系式(定义),中项、通项、前n项和表达式,让学生辨识等差等比数列的特征.【基础训练】1考察下列数列,a1 =1,an+1 =an + ,b1 =2,bn+1 =bn2. an+1 =an ,bn+1 =2bn. an+1 =an+n,b1 =1,bn+1 =(bn)2 ,则an是等差数列且bn是等比数列的有( A )A1组B2
2、组C3组D0组【解析】中an,bn分别是等差、等比数列.中an是等差数列但bn可能bn =0而不是等比数列. 中均不是,共有1组选A【点评】等差、等比定义.2Sn是an前n项和,Bn是bn前n项和,则an,bn分别是等差、等比数列的是( D )ASn = n2 + n +1,Bn =2n 1BSn =2n,Bn =2n 3CSn = n2 + n,Bn =2n + 1DSn =an+ bn,Bn =2n 1【解析】利用【点析】记住等差、等比数列的求和Sn特征及通项公式的特征.3等差数列an中,an-m = A,an+m =B.等比数列bn中,bn-m = A,bn+m =B.则有( C )Aa
3、n =A + B,bn =ABBan =,bn =Can =,bn =Da2n =A + B,b2n =AB【解析】等差、等比中项定义,选C.4已知等差数列an的公差d =,且前100项和S100 = 145,那么a1 + a3 + a5 +a99 = 60 .【解析】解法:由.得a1 + a100 =2.9.而a1 + a99 =2.9 0.5 =2.4.故a1 + a3 + a99 =.解法:令a1 + a3 + a99 =A.则a2+ a4 + a100 =A + 50d.故A + A + 50d =S100 =145.A= 60.【点评】等差数列求和.5已知f (x) =log2x,令
4、an =f -1(n).则an前n项和Sn = 2n 1 .【解析】f -1(x) = 2x an =f -1(n) = 2n.【点评】等比数列求和公式.【知识要点】一、等差数列1定义从第二项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列叫做等差数列. 即:an + 1 an = d(常数)或者an + 2 an + 1 = an + 1 an(nN*).2通项公式an = a1 + (n 1)d;推广: an = am + (n m)d;变式: 由此联想点列n,an所在直线的斜率.3前n项和公式 联想前n项平均数、中位数; ,联想“成对和”相等一倒序相加法.4等差中项如果a、A, b成等差
5、数列, 那么A叫做a与b的等差中项, 且A = 5三个数成等差数列, 通常设为a d, a, a+d; 四个数成等差数列通常设为a 3d,a d, a + d, a + 3d.二、等比数列1定义从第二项起, 每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列叫做等比数列. 即:(q为不等于零的常数)或者 .2通项公式an = a1qn 1, 推广:an = amqn m (nm; m、nN*).3前n项和公式(q1).Sn=4等比中项若a、 b、c成等比数列, 则称b为a、c的等比中项, 且b =.5三个数成等比数列, 通常设为、x、xq; 四个数成等比数列, 通常设为、xq、xq3.6数值不为零的常数
6、列, 既是等差数列又是等比数列.【双基固化】1等差(比)列的判断与证明例 1 已知数列an,anN*,Sn =.(1)求证:an是等差数列;(2)若b1 =1,b2 =4,bn前n项和为Bn,且Bn+1 =(a n+1 a n + 1)Bn +(a n a n+1)Bn 1(n2).求bn通项公式.【分析】由Sn 求出an,进而判断是否满足下列条件之一:a n+1 a n =d;a n =kn + b;Sn =an2 + bn.【解析】(1)an+1 = Sn+1 Sn ,8 an+1 =,(an+1 + an)(a n+1 a n 4)=0,anN*,an+1 + an0,a n+1 a n
7、 4=0,即a n+1 a n = 4,数列an是等差数列.(2)由a n+1 a n = 4,由题知Bn+1 = 5Bn 4 Bn1Bn+1 Bn = 4(Bn Bn1)bn+1 = 4bn(n2)又已知b1 = 1,b2 = 4.故bn是首项为1,公比为4的等比数列.an =4n 1 (nN+)2等差数列中基本量的计算例 2 等差数列的前n项和为Sn,若S12 =84,S20 = 460,求S28.【分析】由已知列出关于a1和d的方程组,求出a1和d,即可求出S28.也可由等差数列求和公式的特点,由Sn =an2 + bn,求得a,b进而求S28. 【解析】方法一:设等差数列an的首项为a
8、1,公差为d,则,S12 =84,S20 =460.,解得a1= 15,d =4.Sn = 15n +.S28= 2282 1728=1092.方法二:由已知不妨设Sn =an2 + bna =2,b = 17,Sn =2n2 17nS28=2282 1728=1092.【点评】(1)方法一是联想等差数列的求和公式,转化为建立基本量的方程求基本量,方法二通过等差数列前n项和的变形式求出待定系数a,b使问题得到解决,较为简捷.(2)有关等差数列的基本运算问题,常运用列方程解方程,因此要强化列方程与解方程的技能,能做到快速、准确地运算.【能力提升】例 3 OBC的三个顶点坐标分别为(0, 0)、(
9、1, 0)、(0, 2),设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn, yn),.(1)求a1,a2,a3及an;(2)证明yn+4 = 1 ,nN*;(3)若记bn = y4n + 4 y4n,nN*,证明bn是等比数列.【解析】(1)由已知得:y1 = y2 = y4 = 1,y3 =, y5 =,a1 = a2 = a3 = 2.又由题意得,+,即对任意的正整数n,各项相等,即数列an为常数列,an = 2.(2)由(1)得, 又,=1,即 ,nN*.(3)bn = y4n+4 y4n,
10、bn+1 = y4n+8 y4n+4 =bn.又b1 = y8 y4 =0,bn是公比为的等比数列.【点评】本题是由几何迭代产生的等差等比数列,此型也是高考热点题型.本题中要利用几何迭代关系,转化为数列递推关系,进而用定义证明它是等差等比数列.【规律总结】1等差数列的识别方法有以下几种:1)定义法:an+1 an =d(常数) an 是等差数列.2)中项公式法:2 an+1= an + an+2(anN*) an 是等差数列.3)通项公式法:an =pn + q(p,q为常数) an 是等差数列.4)前n项和公式法:Sn =An2 + Bn(A,B为常数) an 是等差数列.2等比数列的识别方
11、法有以下几种:1)定义法:(q是不为0的常数,anN*)| an |是等比数列.2)通项公式法:an =cqn(c,q均是不为0的常数,nN*) an 是等比数列.3)中项公式法:=anan+2(anan+1an+20,nN*) an 是等比数列.4)前n项和公式法: an 是等比数列. 注:要证明等差等比数列,用定义法或中项公式法.【课时作业】A组题一、选择题1已知数列an,那么对任意的nN*,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上,则an( B )A是等比数列而不是等差数列B是等差数列而不是等比数列C是等差数列且又是等比数列D不是等差数列也不是等比数列【解析】由Pn(n,an)都在直线y
12、=2x+1上,得an=2n+1知等差数列2在等差数列an中前n项和为Sn,若S5 = 17,S10=68,则首项与公差之比为( D )A21B14C13D12【解析】依题意得4 得.故选D.3、设,an = f (n),求数列an的前n项之和为 ( A )ABC2nD0【解析】,a=3求和得A4已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好是某等比数列的第4,6,8项,那么该等比数列的公比是( C )A BC D【解析】由已知条件得.所以q =.二、填空题5在数列an中,an+1 = can,c为非零常数,且前n项和Sn = 3n + k,则k的值是 1 .【解析】由an = Sn Sn1 =
13、 3n 3n1 =23n1.a1 = 3 + k = 2,k = 1.6在1和1024之间插入9个数,使这11个数顺次成等比数列,所插入的9个数之和是 1022或342 .【解析】由条件知a1=1,a11=1024,设公比为q,由an=a1qn-1,得1024=q10,q=2,当q=2时,所插入9个数之和为=1022当q= 2时,所插入9个数之和为 = 342.三、解答题7设an是等差数列,bn = ,已知:b1 + b2 + b3 =,b1b2b3 =,求等差数列的通项an.【解析】设等差数列an的公差为d则a1=a2d,a3=a2+db1b2b3 =a2=1.于是b1+b2+b3=,即2d+2d+1=,4(2d)2172d+4=0,2d=或2d=4,d= 2,或d =2.d = 2,a1 = a2 d=3,或 d=2,a1 = a2 d= 1.故当a1 = 3,d= 2时,an=a1+(n-1)d=5 2n;a1 = 1,d =2时,an= a1+(n-1)d =2n3.8设数列an的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+1= 4an + 2 (nN*).(1)设bn=an+12an,求证:数列bn是等比数列;(2)设Cn=求证:数列Cn是等差数列;(3)求Sn