《高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第五章 第4课 数列的应用（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第五章 第4课 数列的应用（通用）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4课数列的应用【考点导读】1能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。2注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。【基础练习】1将正偶数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24第4行 32 30 28 26 则2020在第 251 行 ，第 5 列。2图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第个图包含 个互不重叠的单位正方形.3若数列中，且对任意的
2、正整数、都有，则 .4设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为 。5已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则 。【范例导析】例1一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B ，按照某种运算程序：当从A口输入自然数1时，从B口得到 ，记为 ；当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一个结果的倍。（1）当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？并求的表达式；（2）记为数列的前项的和。当从B口得到16112195的倒数时，求此时对应的的值.分析：根据题意可以知道，所以可以采用迭乘法求出的表达式，这样就可以解决题目中的问题。解：（1）由题意可知： （2）由得： 点评
3、：本题考查了迭乘法求数列的通项，裂项法求数列的前项和，更主要的是能从题目的描述中把数列分离出来，也就是理解题目的含义。例2已知正数组成的两个数列，若是关于的方程的两根（1）求证：为等差数列； （2）已知分别求数列的通项公式； （3）求数。（1）证明：由的两根得： 是等差数列（2）由（1）知 又也符合该式， （3） 得.点评：本题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。例3设数列满足 ，且数列是等差数列，数列是等比数列。（I）求数列和的通项公式；（II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由。解：由题意得： ；由已知得公比 （2），所以当时，是增函
4、数。又， 所以当时，又， 所以不存在，使。备用题已知点和互不相同的点，满足，其中分别为等差数列和等比数列，为坐标原点，若是线段的中点.（1）求的值；（2）点，能否共线？证明你的结论；（3）证明：对于给定的公差不零的，都能找到唯一的一个，使得，都在一个指数函数的图象上.解：（1）是线段的中点 又， 且不共线，由平面向量基本定理，知： (2) 由 设的公差为，的公比为，则由于，互不相同，所以，不会同时成立； 若，则，都在直线上； 若，则为常数列， ，都在直线上； 若且，共线与共线（）与矛盾，当且时，不共线.（3）设都在指数函数的图像上，则 令，则， 于是，有唯一解， 由于，从而满足条件“，互不相同
5、”。当对于给定的，都能找到唯一的一个，使得，都在指数函数的图象上。【反馈演练】1制造某种产品，计划经过两年要使成本降低，则平均每年应降低成本 。2在中，是以为第三项，4为第七项的等差数列的公差，是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 锐角三角形 。3等比数列的前项和为，则 54 。4数列是公差不为零的等差数列，且是一等比数列的连续三项，若该等比数列的首项为3，则 。5设为等差数列，为数列的前项和，已知，为数列的前项和，则6某人为了观看2020年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入元定期储蓄，利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2020年
6、将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为。（用式子作答）7在数列中，记，则使成立的最小正整数 11 。8在等差数列中，若，则有成立。类比上述性质，相应地，在等比数列中，若，则有等式。9.已知数列 （1）求数列的通项公式； （2）求证数列是等比数列；（3）求使得的集合. 解：（1）设数列，由题意得：解得： （2）由题意知：，为首项为2，公比为4的等比数列 （2）由10. 为减少市区的环境污染，有关部门决定，从2020年开始停止办理市区摩托车入户手续.此时该区域内居民摩托车拥有量已达1.6万辆.据测算，每7辆摩托车排放污染物总量等于一辆公交车排放的污染物，而每辆摩托车的运送能力是一辆
7、公交车运送能力的4%.若从2020年年初起年内退役部分摩托车，第一年退役万辆，以后每年退役的摩托车数量是上一年的80%，同时增加公交车的数量，使新增公交车的运送能力等于退役摩托车原有的运送能力.（1）求年内新增公交车的总量（万辆）;（2）要求到2020年年初，剩余摩托车与新增公交车排放污染物的总量不超过原有1.6万辆摩托车排放污染物总量的一半，假定每辆摩托车排放污染物数量为,问第一年至少退役摩托车多少万辆？（精确到0.01）.解：（1）由题意知，第一年退役摩托车万辆，第二年万辆，第n年万辆，所以，n年共退役摩托车根据所给条件得： 因此n年内新增公交车的总量为万辆； （2）由题意，经过4年剩余摩
8、托车排放污染物为：， 新增公交车排放的污染物为：，据题意 + 则 答： 第一年至少退役摩托车0.38万辆.11. 设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为（）. （1）求、的值及的表达式； （2）设，为的前项和，求.解：（1）由已知易于得到， ； 当时，可取格点个；当时,，可取格点个 . （2）由题意知: 得 12.已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，满足关系. （1）证明：是等比数列； （2）在正数数列中，设，求数列中的最大项. 解：（1）证明： ，得 故数列an是等比数列 （2）解：据（）可知 由，得 令在区间（0，e）上，在区间为单调递减函数. 是递减数列 又 数列中的最大项为.
