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1、圆锥曲线31、如图,直线与椭圆：（）交于两点,与轴和轴分别交于点和点,点是点关于轴的对称点,直线与轴交于点（1）若点为（6,0）,点为（0,3）,点,恰好是线段的两个三等分点求椭圆的方程；过坐标原点引外接圆的切线,求切线长；（2）当椭圆给定时,试探究是否为定值？若是,请求出此定值；若不是,请说明理由解: （1）设点，由题意知，则有,解得,即,又点为、中点，可得点1分，解得：，椭圆的方程为3分由点，可求得线段的中垂线方程为，令，得设外接圆的圆心为,半径为,可知,4分切线长为9分（2）设点，则所以直线的方程为，令，得，即点，同理13分,又，得，得，两式相减得,即,当椭圆给定时,为定值16分20（本
2、小题满分12分）已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C（）求曲线C的方程；（）过点D（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且平行于轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l， 使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由因为，所以四边形OANB为平行四边形，假设存在矩形OANB，则即，所以， 10分设N（x0，y0），由，得，即N点在直线，所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为20（本小题满分12分）已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线的离心率求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；如图，已
3、知过点的直线：与过点的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求的面积。解：（1）设C的标准方程为在由题意，因此，则曲线C的标准方程为，曲线C的渐近线方程为。（2）解法一：由题意点在直线，因此有故点M,N均在直线上，因此直线MN的方程为，设G,H分别是直线MN与渐近线，由方程组解得，设MN与轴的交点为,则在直线中令，得（易得），注意到，得解法二：设，由方程组得，因为，则直线MN的斜率，故直线MN的方程为注意到因此直线MN的方程为下同解法一，20.（本小题共12分）直线与椭圆交于，两点，已知，若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）若
4、直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；（3）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 20（本小题共14分）解：（1） 2分 椭圆的方程为 3分（2）依题意，设的方程为由 4分显然, 5分由已知得： ,解得 7分（3）当直线斜率不存在时，即，由已知，得又在椭圆上，所以 ,三角形的面积为定值9分当直线斜率存在时：设的方程为，必须 即，得到， 11分，代入整理得：10分 11分 所以三角形的面积为定值 12分21. (本小题满分13分)椭圆的中心在原点，过点，且右焦点与圆的圆心重合（1）求椭圆C1的方程；（2）过点的直线交椭圆于M、N两点，问是否存在这样的直线，
5、使得以MN为直径的圆过椭圆的左焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由；解：（1）依题意得（1，0），所以c=1，又过点，所以b=因此 故所求的椭圆 的方程为：（5分）（2）由（1）知（-1，0）. 以MN为直径的圆过0 若直线的斜率不存在。易知N （1, ），M （1,） 不合题意（7分）若直线的斜率k存在，可设直线为y=k（x-1） ， ，= （9分）联立 消去y得： 代入（11分）得： 由得： (13分)21（本题满分15分 ）已知椭圆经过点，一个焦点是（）求椭圆的方程；（）设椭圆与轴的两个交点为、，点在直线上，直线、分别与椭圆交于、两点试问：当点在直线上运动时，直线是否恒经过
6、定点？证明你的结论21、I）方法1：椭圆的一个焦点是 ，（II）当点在轴上时，、分别与、重合，若直线通过定点，则必在轴上，设，（6分）当点不在轴上时，设，、，直线方程，方程，代入得，解得， （9分）代入得解得， ， （11分），当点在直线上运动时，直线恒经过定点（15分）21、在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点,且（）求直线与交点的轨迹的方程；（）已知点（）是轨迹上的定点，是轨迹上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率满足，试探究直线的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由21、解：（）依题意知直线的方程为： 直线的方程为： 设是直线与交点，得由整理得 不与原点重合点不在
7、轨迹M上轨迹M的方程为（）（）点（）在轨迹M上解得，即点A的坐标为设，则直线AE方程为：，代入并整理得 设,点在轨迹M上， , 又得，将、式中的代换成，可得， 即直线EF的斜率为定值，其值为2.（本小题满分14分）设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。2.解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任
8、意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即，,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 4.（本小题满分14分）如图，已知圆是椭圆的内接
9、的内切圆, 其中为椭圆的左顶点. （1）求圆的半径;（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，证明：直线与圆相切4.解: （1）设，过圆心作于,交长轴于由得,即 (1) 而点在椭圆上, (2)由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）(2) 设过点与圆相切的直线方程为: (3)则,即 (4)解得将(3)代入得,则异于零的解为设,，则则直线的斜率为：于是直线的方程为: 即则圆心到直线的距离 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故结论成立.例6已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，与共线（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆上任意一点，且（），证明为定值解：（
10、1）设椭圆方程为（），则直线的方程为代入，化简得，设，则，由，与共线，得，又，所以，所以，即，所以，所以，故离心率（2）由（1）知，所以椭圆可化为设，由已知得，所以，因为在椭圆上，所以，即由（1）知，所以所以又，代入得故为定值，定值为1例7、已知椭圆：的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，是以为直径的圆.（）当的面积为时，求所在直线的方程；（）当与直线相切时，求的方程；（）求证：总与某个定圆相切. 解：（）易得，设点P，则，所以又的面积为，解得，所在直线方程为或（）因为直线的方程为，且到直线的距离为化简，得，联立方程组，解得或 当时，可得，的方程为；当时，可得，的方程为（）始终和以原
11、点为圆心，半径为（长半轴）的圆（记作）相切证明：因为，又的半径，和相内切20（本题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标20（本题满分12分）解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为-4分（2）设联立 得，则-5分-8分又因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，即-解得：，且均满足-9分当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为-12分18. （本
12、小题满分18分）过直线上的点作椭圆的切线、，切点分别为、，联结（1）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点；（2）当时，定点平分线段18. 证明：（1）设、. 则椭圆过点、的切线方程分别为，.（3分）因为两切线都过点，则有，.这表明、均在直线 上.由两点决定一条直线知，式就是直线的方程，其中满足直线的方程.（6分）（1）当点在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为代入消去得 对一切恒成立. （9分）变形可得对一切恒成立.故有由此解得直线恒过定点.（12分）（2）当时，由式知 解得代入，得此时的方程为 将此方程与椭圆方程联立，消去得（15分）由此可得，此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标，即代入式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标，即这就是说，点平分线段.（18分）20（本题满分14分）已知椭圆为其左焦点，A为右顶点，l为左准线，过F1的直线l与椭圆交于异于A的P、Q两点. （1）求的取值范围； （2）若求证：M、N两点的纵坐标之积为定值920解： （1）当直线PQ的斜率不存在时，PQ方程为得 （2）AP的方程为
