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1、直线、平面、简单几何体题型一 多面体中平行与垂直的证明【典例1】(2020年天津高考) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于点F. （1）证明PA/平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小. 本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,二面角等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力. 拓展提升：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交
2、直线垂直变可.这些从9(A)证法中都能十分明显地体现出来 【变式训练】1（( 2020年湖南卷）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.()证明PQ平面ABCD; ()求异面直线AQ与PB所成的角; ()求点P到平面QAD的距离. 2.(2020全国文)四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，（）证明：；（）求直线SD与平面SBC所成角的大小DBCASE3.（全国1）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,ABDC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点.（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求面
3、AMC与面BMC所成二面角的大小.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.题型二 结论探索性问题【典例2】（2020年江西高考）如图,在三棱锥ABCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD,BDCD1,另一个侧面是正三角形(1)求证：ADBC(2)求二面角BACD的大小(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30角？若存在,确定E的位置；若不存在,说明理由.分析：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，考查了余弦定理尤为突出的是本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知
4、识解题提出了较高要求。拓展提升：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2.联想平面几何命题，运用类比猜想得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。【变式训练】 1. （2020年湖北卷）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.（）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；（）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。A2(2020安徽文) 如图，在三棱锥中，是的中点，且，（I）求证：平面平面；（II）试确定角的
5、值，使得直线与平面所成的角为题型三 折叠、展开问题【典例3】（2020年辽宁高考）已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.(I) 证明平面;(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.拓展提升：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。【变式训练】1(05湖南) 如图1,已知ABCD是上、下底边
6、长分别为2和6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴OO1折成直二面角,如图2.（）证明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小.ADCBEP2.如图，在直角梯形P1DCB中，P1DCB，CDP1D，P1D6，BC3，DC，A是P1D的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角PCDB成45角 （）求证：PA平面ABCD； （）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小【典例4】（2020年重庆高考）如图，在正四棱柱中，为上使的点 平面交于，交的延长线于，求：（）异面直线与所成角的大小；（）二面角的正切值；分析：本题以棱柱为载体考查了空间线线角、面面角。属于考查
7、角的典型题型。拓展提升：作异面直线所成角的常用方法有：（1）平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另外一条直线的平行线或利用中位线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系。一般来说平移是最常用的，应作为求两异面直线所成角的首选方法;(3)向量法解与二面角有关问题时要注意：（1）找出二面角的平面角，主要是用三垂线定理或其逆定理（2）求二面角，主要是解三角形或是用射影法。【变式训练】如图，已知是棱长为的正方体， CBAGHMDEFB1A1D1C1点在上，点在上，且（1）求证：四点共面；（4分）（2）若点在上，点在上，垂足为，求证：平面；（4分）
8、（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求（4分）本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力满分12分题型六 求空间距离【典例5】（2020福建卷）在三棱锥SABC中,ABC是边长为4的正三角形,平面SAC平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.（）证明：ACSB；（）求二面角NCMB的大小；（）求点B到平面CMN的距离.分析：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、二面角、点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.若按常规方法解，(1)需作辅助线再构造一平面，可得线面垂直结论，即可
9、证得线先垂直；(2)由三垂线定理作出二面角的平面角，再由直角三角形知识即可求解；(3)由等体积转换=即可求解.但解此题用下面的空间向量知识解更简捷.解析：本小题主要考查直线与直线,直线与平面,二面角,点到平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力.拓展提升：此题三个小问题层层深入，由(1)证明线线垂直，(2)又利用三垂线定理及勾股定理求二面角，(3)由三角形等面积转换求线段，进而由等体积求点到平面距离.这是一道考查立体几何知识较全面立体几何中的求距离，也是高考中的命题热点，其中点到平面的距离的计算是立体几何中的一个难点.求点到平面距离，一般方法是先由该点向平面引垂线确定垂足，把点到平
10、面的距离转化为解三角形求解，需要作辅助线，然后通过逻辑推理论证及计算，(一作，二证，三计算) 或用向量法。【变式训练】1. (07辽宁)如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为（I）证明：；（II）求的长，并求点到平面的距离本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力2.(06福建) 如图,四面体ABCD中,O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2（）求证：AO平面BCD；（）求异面直线AB与CD所成角的大小；（）求点E到平面的距离.本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识,考查空间想象能力
11、、逻辑思维能力和运算能力.3.（2020湖北高考）如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1,M是底面BC边上的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN2C1N.（）求二面角B1AMN的平面角的余弦值；（）求点B1到平面AMN的距离.本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.1方法与技巧（一）位置关系：1两条异面直线相互垂直 证明方法：证明两条异面直线所成角为90；证明两条异面直线的方向量相互垂直。2直线和平面相互平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面内的一
12、个向量相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。3直线和平面垂直证明方法：证明直线和平面内两条相交直线都垂直，证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。4平面和平面相互垂直证明方法：证明这两个平面所成二面角的平面角为90；证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；证明两个平面的法向量相互垂直。（二）求距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。1两条异面直线的距离求法：利用公式（其中A、B分别为两条异面直线上的一点，
13、为这两条异面直线的法向量）2点到平面的距离求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。向量法，利用公式（其中A为已知点，B为这个平面内的任意一点，这个平面的法向量）（三）求角1两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。2直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角，那么所要求的角为或。3平面与平面所成的
14、角求法：“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。通过射影面积来求（在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cos，注意到我们要求的角为或）；向量法，先求两个平面的法向量所成的角为，那么这两个平面所成的二面角的平面角为或。 我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的方法了！
