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1、2016高中数学探究导学课型第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换(二)课后提升作业新人教版必修4课后提升作业 三十 简单的三角恒等变换(二)(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.函数f(x)=sinx-3cosx可化简为()A.2sinx-3B.2sinx+3C.2sinx-6D.2sinx+6【解析】选A.由辅助角公式知f(x)=212sinx-32cosx=2sinxcos3-sin3cosx=2sinx-3.2.为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=2cos3x的图象()A.向右平移12个单位B.向右平移4个单位C.向左平移12个单位D.向左
2、平移4个单位【解析】选A.因为y=sin3x+cos3x=2cos3x-4=2cos3x-12,所以将函数y=2cos3x向右平移12个单位即可得到y=2cos3x-12的图象.3.已知向量a=cos32,sin32,b=cos2,-sin2,且0,2,若ab,则角的值为()A.0B.4C.2D.0或2【解析】选D.因为a=cos32,sin32,b=cos2,-sin2,且ab,所以cos32sin2+sin32cos2=0,即sin2+32=0,sin2=0,因为0,2,所以20,所以2=0或2=,所以=0或=2.【延伸探究】若本题中的条件“ab”改为“ab”,求的值.【解析】由ab,可知
3、cos32cos2-sin32sin2=0,即cos32+2=0,cos2=0,因为20,所以2=2,所以=4.4.(2016深圳高一检测)设函数f(x)=2cos2x+3sin2x+a(a为实常数)在区间0,2上的最小值为-4,那么a的值等于()A.4B.-6C.-4D.-3【解析】选C.f(x)=2cos2x+3sin2x+a=1+cos2x+3sin2x+a=2sin2x+6+a+1,当x0,2时,2x+66,76,所以f(x)min=2-12+a+1=-4.所以a=-4.5.函数f(x)=3sin2x-cos2x的图象可以由函数g(x)=4sinxcosx的图象得到()A.向右移动12
4、个单位B.向左移动12个单位C.向右移动6个单位D.向左移动6个单位【解析】选A.因为g(x)=4sinxcosx=2sin2x,f(x)=3sin2x-cos2x=2sin2x-6=2sin2x-12,所以f(x)可以由g(x)向右移动12个单位得到.6.(2016广州高一检测)函数f(x)=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为()A.-3,1B.-2,2C.-3,32D.-2,32【解析】选C.f(x)=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2sinx-122+32,则函数的最大值、最小值分别是32,-3.【补偿训练】下列各值中,函数y=2sinx+23cosx不
5、能取得的是()A.3B.3.5C.4D.4.5【解析】选D.因为y=2sinx+23cosx=412sinx+32cosx=4sinx+34,所以函数y=2sinx+23cosx不能取得的是4.5.7.使函数f(x)=sin(2x+)+3cos(2x+)为奇函数的的一个值是()A.6B.3C.2D.23【解析】选D.f(x)=sin(2x+)+3cos(2x+)=2sin2x+3+.当=23时,f(x)=2sin(2x+)=-2sin2x为奇函数.8.(2016长春高一检测)若sin2=1+sin-1-sin,0,则tan的值是()A.-43B.0C.-43或0D.无法确定【解析】选C.1+s
6、in-1-sin=sin2+cos2-sin2-cos2=sin2+cos2-sin2-cos2=sin2,所以2cos2=sin2或sin2=0,所以tan2=2或sin2=0,当tan2=2时,tan=2tan21-tan22=41-4=-43,当sin2=0时,tan=0.综上可知,tan的值是-43或0.【补偿训练】已知f(x)=1-x,当54,32时,f(sin2)-f(-sin2)可化简为()A.2sinB.-2cosC.-2sinD.2cos【解析】选D.f(sin2)-f(-sin2)=1-sin2-1+sin2=(sin-cos)2-(sin+cos)2=|sin-cos|-
7、|sin+cos|,由54,32,所以sincos0,f(sin2)-f(-sin2)=2cos.二、填空题(每小题5分,共10分)9.如图是半径为1的半圆,且PQRS是半圆的内接矩形,设SOP=,则其值为时,矩形的面积最大,最大面积的值为.【解析】SOP=,则SP=sin,OS=cos,故S矩形PQRS=sin2cos=sin 2,故当为45时,S矩形PQRS的面积最大,最大值为1.答案:45110.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x=来截.【解析】设正方形钢板的边长为a,截后的正
8、方形边长为b,则a2b2=32,ab=32,又a=GC+CF=bsinx+bcosx所以sinx+cosx=62,所以sinx+4=32.因为0x2,4x+434,所以x+4=3或23,x=12或512.答案:12或512【误区警示】解答本题容易忽视角度x的取值范围,而导致解三角方程时产生漏解.三、解答题(每小题10分,共20分)11.某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-3cos12t-sin12t,t0,24).(1)求实验室这一天上午8时的温度.(2)求实验室这一天的最大温差.【解析】(1)f(8)=10-3cos128-sin128=1
9、0-3cos23-sin23=10-3-12-32=10.故实验室这一天上午8时的温度为10.(2)因为f(t)=10-232cos12t+12sin12t=10-2sin12t+3,又0t24,所以312t+373,-1sin12t+31.当t=2时,sin12t+3=1;当t=14时,sin12t+3=-1.于是f(t)在0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12,最低温度为8,最大温差为4.12.(2016武汉高一检测)已知函数f(x)=(sinx-cosx)sin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期.(2)求f(x)的单调递增区间.【解析】(1
10、)由sinx0得xk(kZ),故f(x)的定义域为xR|xk,kZ.因为f(x)=(sinx-cosx)sin2xsinx=2cosx(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-1=2sin2x-4-1,所以f(x)的最小正周期为T=22=.(2)函数y=sinx的单调递增区间为2k-2,2k+2(kZ).由2k-22x-42k+2,xk(kZ).得k-8xk+38,xk(kZ).所以f(x)的单调递增区间为k-8,k和k,k+38(kZ).【能力挑战题】已知函数f(x)=cos2x2-sinx2cosx2-12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域.(2)若f()=3210,求sin2的值.【解析】(1)f(x)=cos2x2-sinx2cosx2-12=12(1+cosx)-12sinx-12=22cosx+4.所以f(x)的最小正周期为2,值域为-22,22.(2)由(1)知f()=22cos+4=3210,所以cos+4=35.所以sin2=-cos2+2=-cos2+4=1-2cos2+4=1-1825=725.- 8 - / 8
