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1、2018年高中数学黄金100题系列第73题椭圆中的基本问题文第73题 椭圆中的基本问题I题源探究黄金母题【例1】如图，圆的半径为，是圆内的一个定点，是圆上任意一点线段AP的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？【解析】连接，由于线段AP的垂直平分线和半径相交于点，则，则，由于为圆内一点，则，根据椭圆定义，点的轨迹是以为焦点的椭圆精彩解读【试题来源】人教版A版选修1-1P42习题21A组T7【母题评析】定义法是求轨迹的一种方法，本题动点满足到两个定点距离之和是一个常数（大于两定点距离），符合椭圆定义，可以利用定义法求出动点的轨迹同理，符合圆、双曲线、抛物线的定义也是
2、如此利用定义不仅可以求轨迹，也可以解决很多相关问题，如求曲线方程、求离心率等，因此在解决圆锥曲线问题时要时刻牢记“勿忘定义”【思路方法】根据题意找出动点是否符合圆锥曲线的定义，如圆的定义，椭圆、双曲线、抛物线的定义，考虑问题注意运用线段的垂直平分线性质，两圆内切、外切的条件等II考场精彩真题回放【例1】【2017高考浙江卷】椭圆的离心率是（ ）AB C D【答案】B【解析】，故选B【例2】【2017新课标III】已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 （ ）AB C D【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点 ，半径为 ，圆的方
3、程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：，整理可得，即，从而 ，椭圆的离心率，故选A【命题意图】这类题主要考查椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质等【考试方向】高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：（1）根据椭圆的定义求椭圆的标准方程（选择、填空，解答题第一问，常与椭圆性质、其它圆锥曲线和直线等综合考察）；（2）椭圆性质的初步运用（选择、填空、解答题第一问）；（3）求椭圆中距离、周长或者面积等；（4）求直线与椭圆相交时弦长、中点轨迹（解答题第二问）；（5）确定椭圆中的弦长、式子的定值问题，确定与椭圆有关的曲线经过的定点问题（解答题第二问）；（6）求椭圆中的弦长（或其它量）的最
4、值或者范围（解答题第二问）【难点中心】1利用定义解题，是数学常见题，灵活应用定义，一方面考查对定义的理解，另一方面体现在灵活应用的“活”字上，利用定义解题的题型很多，涉及求离心率，求轨迹，求焦三角形的周长、面积等2解决椭圆的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等【例3】【2016高考新课标II】已知，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，则E的离心率为 （ ）A. B C D2【解析】离心率，故选A【例4】【2017高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，椭圆
5、的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为8点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的交点在椭圆上，求点的坐标F1 O F2xy(第17题)【答案】（1）；（2）【解析】（1）设椭圆的半焦距为椭圆的离心率为，两准线之间的距离为8，联立得，故椭圆E的标准方程为（2）解法一：由（1）知从而直线的方程： 直线的方程： 由，解得，点在椭圆上，由对称性，得，即或因此点P的坐标为解法二：设，则，由题意得，整理得，点在椭圆上，故点的坐标是解法三（参数方程）：设，则直线方程分别为联立解得又在椭圆上，整理得又点的坐标是解法四（秒杀技）：由已知得，故
6、这四个点共圆若四点共圆，则圆以为直径，方程为，但它与椭圆无交点，故应该是四点共圆（即在以为直径的圆上），从而关于轴对称设，则，且是圆与椭圆的交点，又在此圆上，解得（注意）3涉及直线与椭圆的位置关系的问题，只要联立直线与椭圆的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量等于“中点弦问题”，可以利用“点差法”处理III理论基础解题原理考点1 椭圆的定义椭圆的概念（1）文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭
7、圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距（2）代数式形式：集合若，则集合P为椭圆；若，则集合P为线段；若，则集合P为空集考点2 椭圆的标准方程1椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，2满足条件：考点3 椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴及原点对称顶点长轴顶点 ，短轴顶点长轴顶点 ，轴顶点焦点焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度较小，往往以椭圆、抛物线、双曲线为载体，考查圆锥曲线的定义、性质等基本知识椭圆问题借助定义，结合试题所给其它条件解题，特别是
8、在焦三角形中，经常利用三角形的边角关系（正弦定理、余弦定理、有时利用勾股定理、面积公式）解题，注意之间的联系，灵活应用定义解题椭圆是圆锥曲线中最重要的一类曲线，在高考中出现的次数也最多，主要考查椭圆的定义、性质、方程，在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题【易错指导】1判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小2注意椭圆的范围，在设椭圆上点的坐标为P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因3学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：（1）椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长
9、轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为ac)，过焦点垂直于长轴的通径长为等（2）设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当xa时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处（3）椭圆上任意一点P(x，y)(y0)与两焦点F1(c，0)，F2(c，0)构成的PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(ac)（4）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2b2c24重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征V举一反三触类旁通考向一 椭圆的定义与焦点三角形【例1】设是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，
10、_【答案】【解析】由椭圆方程可知，即，因为，所以，所以，因为，解得因为，所以【例2】(2018浙江省名校联考)已知F1，F2是椭圆1的两个焦点，过点F2作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，则F1AB的周长为_【名师点睛】1涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解2涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解3应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y0)与两焦点F1(c，0)，F2(c，0)构成的PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(ac)（2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2b2c2
11、【例3】【2018江苏扬州模拟】已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是_【答案】椭圆【跟踪练习】1已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为_【答案】2已知F1、F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且若PF1F2的面积为9，则b_【答案】3考向二 椭圆的标准方程【例4】已知椭圆C：的左右焦点为F1，F2离心率为，过F2的直线l交C与A，B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为_【答案】【解析】由椭圆的定义可得，又因为，所以，解得，又因为，所以， ，所以椭圆方程为【例5】求
12、满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1）长轴是短轴的3倍且经过点；（2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)【答案】（1）或；（2）或；(3)1（3）设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn)椭圆经过点P1，P2，点P1，P2的坐标适合椭圆方程则两式联立，解得所求椭圆方程为1【名师点睛】1求椭圆标准方程的方法求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 (A
13、0，B0且AB)，这种形式在解题中更简便2椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量等之间的关系，并能熟练地应用【温馨提醒】1用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：（1）作判断：根据条件判断焦点的位置（2）设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 （3）找关系：根据已知条件，建立关于的方程组（4）求解，得方程2（1）方程与有相同的离心率（2）与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便【跟踪练习】1【湖北省八校2018届第一次联考】如图，已知椭圆的中心为原点，为的左焦点， 为上一点，满足且，则椭圆的
14、方程为（）A B C D【答案】C考向三 椭圆的几何性质（离心率、通径等）【例6】椭圆上一点关于原点的对称点为，为其左焦点，若，设，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D【解析】取椭圆右焦点，连接，由椭圆对称性以及知四边形为矩形，则由得，由椭圆定义知，【例7】【2018福建厦门模拟】设，分别是椭圆的左、右焦点，过 的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【解析】由条件，而，为等边三角形，而周长为4a，等边三角形的边长为，在焦点三角形中，即，【例8】设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若且的最小内角为，则C的离心率为_【解析】不妨设，则，所以，因为，所以，所以【跟踪练习】1【2018贵州贵阳高中高三8月摸底考试
