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1、1.1 正弦定理（二）学习目标1.能根据条件，判断三角形解的个数.2.能从实际问题中抽象出三角形问题并予以解决.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题知识点一正弦定理的常见变形1sin Asin Bsin C_.2._.3a_，b_，c_.4sin A_，sin B_，sin C_.知识点二判断三角形解的个数思考1在ABC中，a9，b10，A60，判断三角形解的个数梳理已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一例如，在ABC中，已知a，b及A的值由正弦定理，可求得sin B.在由sin B求B时，如果ab，则有AB，所以B为锐角，此时B的值唯一；如果ab，则有A
2、B，所以B为锐角或钝角，此时B的值有两个思考2已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？梳理解三角形4个基本类型：(1)已知三边；(2)已知两边及其夹角；(3)已知两边及其一边对角；(4)已知一边两角其中只有类型(3)解的个数不确定知识点三正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用思考在ABC中，已知acos Bbcos A你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?梳理一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来简称边角互化类型一判断三角形解的个数例1在ABC中，已知a
3、20 cm，b28 cm，A40，解三角形(角度精确到1，边长精确到1 cm)引申探究若例1中b28 cm，A40不变，当边a在什么范围内取值时，ABC有两解？(范围中保留sin 40)反思与感悟已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值或者根据该正弦值(不等于1时)在0180范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，即是所求跟踪训练1已知一三角形中a2，b6，A30，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形类型二正弦定理在实际生活中的应用例2如图，一渔船在海上由西向东航行，在A处
4、望见灯塔C在船的东北方向，若船速为每小时30 n mile，半小时后在B处望见灯塔在船的北偏东30，当船行至D处望见灯塔在船的西北方向时，求A、D两点之间的距离(精确到0.1 n mile)反思与感悟在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解跟踪训练2一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔间的距离为_ km.类型三正弦定理与三角变换的综合例3已知ABC的三个内角A、B、C的对边分
5、别为a、b、c，若ac2b,2cos 2B8cos B50，求角B的大小并判断ABC的形状反思与感悟借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式跟踪训练3已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和，其中a、b为ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状1在ABC中，AC，BC2，B60，则角C的值为_2一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为_海里/时3已知A
6、BC中，b4，c2，C30，则满足条件的三角形有_个4在ABC中，若abc135，求的值1已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值2用正弦定理解决实际问题时，首先根据条件画出示意图，并特别注意诸如“仰角”、“俯角”“北偏东30”之类术语的准确理解；然后分析解三角形已有哪些条件，要求什么，还缺什么，如何利用正弦定理及三角知识达到目标答案精析问题导学知识点一1abc22R32Rsin A2R
7、sin B2Rsin C4.知识点二思考1sin Bsin A，而1，所以当B为锐角时，满足sin B的角有60B90，故对应的钝角B有90B120，也满足AB180，故三角形有两解思考2如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题知识点三思考可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos Bcos Asin B0.题型探究例1解根据正弦定理，得sin B0.899 9.因为0Ba，BA.(1)当B64时，C180(AB)1
8、80(4064)76，c30(cm)(2)当B116时，C180(AB)180(40116)24，c13(cm)综上，B64，C76，c30 cm或B116，C24，c13 cm.引申探究解如图，A40，CDAD.AC28 cm，以C为圆心，a为半径画圆弧，当CDaAC，即bsin Aab，28sin 40a28时，ABC有两解(AB1C，AB2C均满足题设)跟踪训练1解a2，b6，ab，A30a，BA，B(30，150)，所以B60或120.当B60时，C90，c4；当B120时，C30，ca2.所以B60，C90，c4或B120，C30，c2.例2解在ABC中，AB300.515(n mi
9、le)，CAB45，ABC120，所以ACB15，由正弦定理，可得，所以AC.在ACD中，CAD45，CDA45，所以ACD90，由正弦定理，得AD71.0(n mile)答A、D两点之间的距离约为71.0 n mile.跟踪训练230解析如图所示，在ABC中，BAC30，ACB105ABC45，AC60 km，根据正弦定理，得BC30(km)例3解2cos 2B8cos B50，2(2cos2B1)8cos B50.4cos2B8cos B30，即(2cos B1)(2cos B3)0.解得cos B或cos B(舍去)0B，B.ac2b.由正弦定理，得sin Asin C2sin B2sin .sin Asin，sin Asin cos Acos sin A.化简得sin Acos A，sin1.0A，A，A.A，C.ABC是等边三角形跟踪训练3解设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系，得bcos Aacos B.由正弦定理，得sin Bcos Asin Acos B，sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0.A、B为ABC的内角，0A，0B，AB，AB0，即AB.故ABC为等腰三角形当堂训练1752.83.04解由条件得，sin Asin C.同理可得sin Bsin C.9
