《高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例教学案新人教A选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例教学案新人教A选修2-2（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4几何中的最值问题典例有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？解设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a2x，高为x，V(x)(a2x)2x,0x.即V(x)4x34ax2a2x,0x.实际问题归结为求V(x)在区间上的最大值点为此，先求V(x)的极值点在开区间内，V(x)12x28axa2.令V(x)0，得12x28axa20.解得x1a，x2a(舍去)x1a在区间内，x1可能是极值点且当0x0；当x1x时，V(x)0.因此x1是极大值点，且在区间
2、内，x1是唯一的极值点，所以xa是V(x)的最大值点即当截下的小正方形边长为a时，容积最大1利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论2几何中最值问题的求解思路面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验活
3、学活用1已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为_解析：设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，圆柱的表面积S2r22rh.h，又圆柱的体积Vr2h(S2r2)，V(r)，令V(r)0得S6r2，h2r，因为V(r)只有一个极值点，故当h2r时圆柱的容积量大又r，h2.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.答案：2将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？解：设弯成圆的一段长为x(0x100)，另一段长为100x，记正方形与圆的面积之和为S，则S22(0x100)，则S(100x)令S0，则x.
4、由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和最小值显然存在，故当x cm时，面积之和最小故当截得弯成圆的一段长为 cm时，两种图形面积之和最小.用料、费用最少问题典例某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解 (1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256
5、n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答活学活用某工厂要围建一个面积为128 m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽
6、应分别是多少？解：设场地宽为x m，则长为 m，因此新墙总长度为y2x(x0)，y2，令y0，x0，x8.因为当0x8时，y0；当x8时，y0，所以当x8时，y取最小值，此时宽为8 m，长为16 m.即当堆料场的长为16 m，宽为8 m时，可使砌墙所用材料最省.利润最大问题典例某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2.其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解 (1)因为x5时
7、，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大1经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与
8、利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动2关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数 活学活用工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p(c为常数，且0cc时，p，yx3x0；当0xc时，p，yx3x.日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为y(c为常数，且0cc时，日盈利额为0.当0xc时，y，y，令y0，得x3或x9(舍去)，当0c0，y在区间(0，c上单调递增，y最大值f(c).当3c0，在(3，c)上，y0，y在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减y最大值
9、f(3).综上，若0c3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3c400时，P0恒成立，易知当x300时，总利润最大4设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A. B2C. D.V解析：选C设底面边长为x，则高为h，S表3x2x2x2，S表x，令S表0，得x.经检验知，当x时，S表取得最小值5内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()AR B2RC.R D.R解析：选C设圆锥高为h，底面半径为r，则R2(hR)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2.令V0得hR. 当0h0；当h2R时，V0)，yx2，由y0，得x25，x(0,25)时，y0，x(25，)时，y0，所以x25时，y取最大值答案：259为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位
