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1、不等式选讲第一节绝对值不等式1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x|a的解法：不等式a0a0a0|x|a(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.1设a，b为满足ab|ab|B|ab|ab|C|ab|a|b| D|ab|a|b|解析：选Bab|ab|.2若不等式|kx4|2的解集为，则实数k_.解析：由|kx4|22kx6.不等式
2、的解集为，k2.答案：23函数y|x4|x4|的最小值为_解析：因为|x4|x4|(x4)(x4)|8，所以所求函数的最小值为8.答案：84不等式|x1|x2|1的解集是_解析：令f(x)|x1|x2|当1x2时，由2x11，解得1x1恒成立所以不等式的解集为.答案：考什么怎么考绝对值不等式的解法是每年高考的重点，既单独考查，也与函数的图象、含参问题等的综合考查，难度较小，属于低档题.1(2016全国卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集解：(1)由题意得f(x)故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f
3、(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集为.2解下列不等式(1)|2x1|2|x1|0；(2)|x3|2x1|2|x1|，两边平方得4x24x14(x22x1)，解得x，所以原不等式的解集为.法二：原不等式等价于或或解得x，所以原不等式的解集为.(2)当x3时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，x3.当3x时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x，3x时，原不等式化为(x3)(12x)2，x2.综上可知，原不等式的解集为.怎样快解准解绝对值不等式的常见3解法(1)零点分段讨论法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式
4、，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根；将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；这些解集的并集就是原不等式的解集(2)利用绝对值的几何意义由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|xa|xb|0)或|xa|xb|c(c0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观(3)数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的
5、图象，利用函数图象求解易错提醒用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时，去绝对值符号的关键点是找零点，将数轴分成若干段，然后从左到右逐段讨论典题领悟1若对于实数x，y有|1x|2，|y1|1，求|2x3y1|的最大值解：因为|2x3y1|2(x1)3(y1)|2|x1|3|y1|7，所以|2x3y1|的最大值为7.2若a2，xR，求证：|x1a|xa|3.证明：因为|x1a|xa|(x1a)(xa)|2a1|，又a2，故|2a1|3，所以|x1a|xa|3成立解题师说证明绝对值不等式的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为一般不等式再证明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a
6、|b|进行证明(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明冲关演练已知x，yR，且|xy|，|xy|，求证：|x5y|1.证明：|x5y|3(xy)2(xy)|.由绝对值不等式的性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321.即|x5y|1成立绝对值不等式的综合应用是每年高考的热点，主要涉及绝对值不等式的解法、恒成立问题，难度适中，属于中档题.典题领悟(2017全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围解：(1)f(x)当x1时，f(x)1无解；当1x2时，由f(x)
7、1，得2x11，解得1x2；当x2时，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，当且仅当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围为.解题师说设函数f(x)中含有绝对值，则(1)f(x)a有解f(x)maxa.(2)f(x)a恒成立f(x)mina.(3)f(x)a恰在(c，b)上成立c，b是方程f(x)a的解冲关演练1(2017全国卷)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,
8、1，求a的取值范围解：(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x23x40，无解；当1x1时，式化为x2x20，从而1x1；当x1时，式化为x2x40，从而1x.所以f(x)g(x)的解集为.(2)当x1,1时，g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等价于当x1,1时，f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范围为1,12已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取
9、值范围解：(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26，得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|3，即.又min，所以，解得a2.所以a的取值范围是2，)1已知函数f(x)|x4|xa|(aR)的最小值为a.(1)求实数a的值；(2)解不等式f(x)5.解：(1)f(x)|x4|xa|a4|a，从而解得a2.(2)由(1)知，f(x)|x4|x2|故当x2时，由2x65，得x2，当24时，由2x65，得4x，故不等式f(x)5的解集为.2(2018石家庄质检)已知函数f(x)|x3|xm|(xR)(1)当m1时，求不等式f
10、(x)6的解集；(2)若不等式f(x)5的解集不是空集，求实数m的取值范围解：(1)当m1时，f(x)6等价于或或解得x2或x4，所以不等式f(x)6的解集为x|x2或x4(2)|x3|xm|(x3)(xm)|m3|，f(x)min|3m|，|m3|5，解得8m2，实数m的取值范围为8,23(2018郑州质检)已知函数f(x)|2x1|，g(x)|x|a.(1)当a0时，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在xR，使f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围解：(1)当a0时，由f(x)g(x)，得|2x1|x|，两边平方整理得3x24x10，解得x1或x，故原不等式的解集为(，1.(2)由f(
11、x)g(x)，得a|2x1|x|，令h(x)|2x1|x|，则h(x)故h(x)minh，所以实数a的取值范围为.4已知函数f(x)|4xa|a24a(aR)(1)当a1时，求不等式2f(x)4的解集；(2)设函数g(x)|x1|，若对任意的xR，f(x)4g(x)6恒成立，求实数a的取值范围解：(1)f(x)|4xa|a24a，当a1时，f(x)|4x1|3.因为2f(x)4，所以1|4x1|7，即解得x0或x2，因此2f(x)4的解集为.(2)因为f(x)4g(x)|4xa|a24a4|x1|4xa44x|a24aa24a|4a|，所以a24a|4a|6，当a4时，a24aa46，得4a5，当a4时，a24a4a6，得a4，所以实数a的取值范围是.5设函数f(x)|x2|x1|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若关于x的不等式f(x)4|12m|有解，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)可化为f(x)当x2时，f(x)30，不合题意；当2x1时，f(x)2x11，得x0，即0x1；当x1时，f(x)31，即x1.综上，不等式f(x)1的解集为(0，)(2)关于x的不等式f(x)4|12m|有解等价于(f(x)4)max|12m|，由(1)可知f(x)max
