《2020高考数学 百大经典例题——空间直线(新课标)（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考数学 百大经典例题——空间直线(新课标)（通用）（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、典型例题一空间直结例1 若，则，的位置关系是（ ）A异面直线 B相交直线C平行直线 D相交直线或异面直线分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论解：如图所示，在正方体中，设，则若设，则与相交若设，则与异面故选D说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解一般以正方体、四面体等为具体模型例如，相交，相交，则，的位置关系是相交、平行或异面类似地；，异面，异面，则，的位置关系是平行、相交或异面这些都可以用正方体模型来判断典型例题二例2 已知直线和点，求证：过点有且只有一条直线和平行分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即
2、存在性和惟一性存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象因此，这是否定性命题，常用反证法证明：（1）存在性 ， 和可确定一个平面，由平面几何知识知，在内存在着过点和平行的直线（2）惟一性假设在空间过点有两条直线和满足和根据公理4，必有与矛盾， 过点有一条且只有一条直线和平行说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性典型例题三例3 如图所示，设，分别是空间四边形的边，上的点，且，求证：（1）当时，四边形是平行四边形；（2）当时，四边形是梯形分析：只需利用
3、空间等角定理证明即可证明：连结，在中， ，且在中， ，且 ， 顶点，在由和确定的平面内（1）当时，故四边形为平行四边形；（2）当时，故四边形是梯形说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况特别地，当时，是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形如果再加上条件，这时，平行四边形是菱形典型例题四例4 已知是两条异面直线，直线上的两点的距离为6，直线上的两点的距离为8，的中点分别为且，求异面直线所成的角分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面直线平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解解：如图，连结，并取的中点，连结，分别是和的中位线，即 ， 所成
4、的锐角或直角是异面直线所成的角又 ，在中，又，故异面直线所成的角是说明：在求两条异面直线所成的角时，一般要依据已知条件，找出与两条异面直线分别平行并且相交于一点的两条直线但是，异面直线所成角的定义中的点一般是在图形中存在着的，需要认真观察分析图形的性质，从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直线，以得到两条异面直线所成的角，在求这个角的大小时，一般是根据平面图形中解三角形的知识求解的典型例题五例5 已知四面体的所有棱长均为求：（1）异面直线的公垂线段及的长；（2）异面直线和所成的角分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解
5、解：（1）如图，分别取的中点，连结由已知，得，是的中点，同理可证是的公垂线段在中， （2）取的中点，连结，则和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角连结，在中，由余弦定理，得故异面直线和所成的角为说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值典型例题六例6如图所示，两个三角形和的对应顶点的连线、交于同一点，且(1)证明：，；(2)求的值分析：证两线平等当然可用平面几何的方法而求面积之比则需证两个三角形相似，由于三角形是平面图形，故也可用平面几何的方法证明证明：(1)当和在点两侧时，如图甲与相交于点，且，（因为、共面）同理，(2)，且，和，和的方向相反
6、，同理因此，又，当和在点的同侧时，如图乙所示，同理可得(1)(2)说明：此题与是否共面并不重要，因为等角定理对各种位置已作说明典型例题七例7是矩形所在平面外一点，与成角，与成角，求：(1)直线与的距离；(2)求直线与的距离分析：要求出与、与的距离，必须找到它们的公垂线段，公垂线段的长度即为异面直线间的距离解：如图所示，在矩形中，又，是异面直线、的公垂线段，其长度为异面直线、的距离在中，是与所成的角，又，(2)在矩形中，又，是直线、的公垂线段，其长度为异面直线、的距离在中，是异面直线与所成的角，又，直线与的距离为说明：(1)求异面直线之间距离的步骤是：找（作）线段；证线段是公垂线段；求公垂线段的
7、长度(2)求异面直线间的距离的问题，高考中一般会给出公垂线段典型例题八例8、是三条直线，若与异面，与异面，判断与的位置关系，并画图说明分析：这是一道考查异面直线概念及空间直线位置关系的问题，同时也考查了图形语言的表达能力解：直线与的位置关系有以下三种情形如图：直线与的位置关系可能平行（图中的(1)）；可能相交（如图中的(2)）；可能异面（图中的(3)）说明：本题也考查了空间想象能力和逻辑划分、分类讨论的能力典型例题九例9如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的十二条棱中，共有几对异面直线（）A12对B24对C36对D48对分析：一般地，立体几何中的计数问题，是由所数的量的性质，确定一规律，
8、然后按此规律进行计数正方体的各棱具有相同的位置关系所以以一条棱为基量，考察与其异面的几对，问题可解解：如图，正方体中与异面有，各棱具有相同的位置关系，且正方体有12条棱，排除两棱的重复计算成本，异面直线共有对说明：分析清楚几何体特点是避免重复计数的关键计数问题必须避免盲目乱数，做到“不重不漏”典型例题十例10如图，已知不共面的直线，相交于点，、是直线上两点，、分别是，上一点求证：和是异面直线证法1：假设和不是异面直线，则与在同一平面内，设为，又，且，同理：，共面于，与已知，不共面相矛盾，、是异面直线证法2：，直线，确定一平面设为，且，又，不共面，与为异面直线说明：证明两条直线异面的方法有两种(
9、1)用定义证明（即定义法）：此时需借反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交也可能平行，然后，推导出矛盾即可(2)用定理证明（即定理法）：用该法证明时，必须阐述出定理满足的条件：，然后可以推导出直线与是异面直线典型例题十一例11已知平面与平面相交于直线，为直线上的两点在内作直线，在内作直线求证和是异面直线已知：平面平面=，如图求证：、是异面直线证明：假设，不是异面直线，则它们必共面、在同一平面内即、所确定的平面与、确定的平面重合这与平面平面=矛盾、是异面直线说明：证明两条直线为异面直线，用反证法往往比较简单典型例题十二例12已知空间四边形
10、，求证它的对角线和是异面直线证法一：（反证法）如图假设和不是异面直线，则和在同一平面内、在同一平面内，即四边形是平面四边形，这与已知条件矛盾，所以假设不成立因此和是异面直线证法二：（定理法）过和作一平面，则对角线在平面内对角线与平面交于外的一点，即点不在直线上，且点在平面外根据异面直线判定定理知：和是异面直线说明：判定两条直线是异面直线的证明问题常用这两种方法，即(1)反证法，(2)用判定定理典型例题十三例13已知空间四边形，是的边上的高，是的边上的中线，求证：和是异面直线证法一：（定理法）如图由题设条件可知点、不重合，设所在平面和是异面直线证法二：（反证法）若和不是异面直线，则和共面，设过、
11、的平面为(1)若、重合，则是的中点，这与题设相矛盾(2)若、不重合，、四点共面，这与题设是空间四边形相矛盾综上，假设不成立故和是异面直线说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？”对于这个问题，同学们可试验做一做也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾只须两句话就解决了这个问题典型例题十四例14已知、分
12、别是正方体的棱、的中点求证：分析：欲证两个角相等，可通过等角定理或其推论来实现证明：如图，连结，分别为，中点，为平行四边形又，四边形是平行四边形同理又与方向相同说明：有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：(1)利用等角定理及其推论；(2)利用证三角形相似；(3)利用证三角形全等本例是通过第一种途径来实现请同学们再利用第三种途径给予证明典型例题十五例15由四个全等的等边三角形的封面几何体称为正四面体，如图，正四面体中，、分别是棱、的中点，与是一对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线、的平行线，找出异面直线与成的角分析1：选取平面，该平面有以下两个特点，(1)该平面包含直线，(2)该平
13、面与相交于点，伸展平面，在该平面中，过点作交的延长线于，连结可以看出：与所成的角，即为异面直线与所成的角如图分析2：选取平面，该平面有以下两个特点：(1)该平面包含直线，(2)该平面与相交于点在平面中，过点作的平行线交于点，连结，可以看出：与所成的角，即为异面直线与所成的角如图分析3：选取平面，该平面有如下两个特点：(1)该平面包含直线，(2)该平面与相交于点在平面中，过点作，与相交于点，连结，可以看出：与所成的角，即为异面直线与所成的角分析4：选取平面，该平面有如下特点：(1)该平面包含直线，(2)该平面与相交于点，伸展平面，在该平面内过点作与的延长线交于点，且，连结，则与所成的角，即为异面直线与所成的角如图说明：(1)两条异面直线所成的角是非常重要的知识点，是每年高考的必考内容，要求牢固掌握两条异面直线所成的角的定义和两条异面直线互相垂直的概念，两条异面直线所成的角是刻划两条异面直线相对位置的一个量，是通过转化为相交直线成角来解决的，这里我们要注意：两条异面直线所成的角的范围是，当时，这两条异面直线互相垂直求两条异面直线所成角的关键是作出这两条异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其
