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1、不等式的证明（放缩法）1设，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 2已知三角形的三边长分别为，设，则与的大小关系是 （ ）A. B. C. D.3设不等的两个正数满足，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 4设，则与1的大小关系是 .5设，则的整数部分为 .6已知均为正数，且，求证：.7设，求证：.8设，求证：.9设，求证：.10设，求证：不等式对所有的正整数都成立.简答：1B 提示： 2D 提示：由，得 ， 3B 提示：由条件得，所以，故 .又，可得，从而 ，所以 ，故.4A1 518 提示：因为时，所以 ，即故所以所求整数部分为18.6解：由已知可知，所以，所以原不等式得证.
2、7提示：由，累加即得.8提示：.9提示：，累加即得.10提示：不等式证明五（放缩法、反证法）目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。过程：一、 简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法提出课题：放缩法与反证法二、 放缩法：例一、若a, b, c, dR+，求证：证：记m = a, b, c, dR+ 1 m 2 时，求证： 证：n 2 n 2时, 例三、求证： 证： 三、 反证法：例四、设0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,则三式相乘：ab (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求
3、证：a, b, c 0 证：设a 0, bc 0, 则b + c = -a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾， 必有a 0 同理可证：b 0, c 0四、 作业：证明下列不等式：1 设x 0, y 0, ，求证：a b放缩法：2 lg9lg11 b c, 则 5左边6 7已知a, b, c 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn 0, 8设0 a, b, c 0，且x + y 2，则和中至少有一个小于2反设2，2 x, y 0，可得x + y 2 与x + y 2矛盾用放缩法证明不等式所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理
4、的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3b3a2b2，求证。证明：由题设得a2abb2ab，于是（ab）2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab（ab）2，而（ab）2ababab（ab）2，即（ab）2ab，所以ab，故有1ab。例2. 已知a、b、c不全为零，求证：证明：因为，同理，。所以二. 分式放缩一个分式若分子变大
5、则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：。证明：由于a、b、c为正数，所以，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+ca，则为真分数，则，同理，故.综合得。三. 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知nN*，求。证明：因为，则，证毕。例5. 已知且，求证：对所有正整数n都成立。证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立。四. 公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例6. 已知函数，证
6、明：对于且都有。证明：由题意知又因为且，所以只须证，又因为所以。例7. 已知，求证：当时。证明：证毕。五. 换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。例8. 已知，求证。证明：因为，所以可设，所以则，即。例9. 已知a，b，c为ABC的三条边，且有，当且时，求证：。 证明：由于，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为，则当时，所以。六. 单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例10. 已知a，bR，求证。证明：构造函数，首先判断其单调性，设，因为，所以，所以在上是增函数，取，显然满足，所以，即。
7、证毕。放缩法在不等式的应用所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到
8、解题目的，这是常规思路。例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3b3a2b2，求证。证明：由题设得a2abb2ab，于是（ab）2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab（ab）2，而（ab）2ababab（ab）2，即（ab）2ab，所以ab，故有1ab。例2. 已知a、b、c不全为零，求证：证明：因为，同理，。所以二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：。证明：由于a、b、c为正数，所以，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+ca
9、，则为真分数，则，同理，故.综合得。三. 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4. 已知nN*，求。证明：因为，则，证毕。例5. 已知且，求证：对所有正整数n都成立。证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立。例6 设数列满足 （）证明对一切正整数成立；（）令，判定与的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）题）简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（）进行减项放缩，有法1 用数学归纳法（只考虑第二步）；法2 则.四. 利用重要不等式放缩1.均值不等式利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例7 设求证解析 此数列的通
10、项为，即 注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例8已知为正数，且，试证：对每一个，.（88年全国联赛题）简析 由得，又，故，而，令，则=，因为，倒序相加得=，而，则=，所以，即对每一个，.2利用有用结论例9 求证简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质可得 即 法2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得 注：例9是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数
11、而成理科姊妹题。如理科题的主干是：证明(可考虑用贝努利不等式的特例) 例10 已知函数求证：对任意且恒成立。（90年全国卷压轴题） 简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法：而由不等式得(时取等号) （），得证！例11 已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题）解析 结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是， 即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即例12 已知不等式表示不超过 的最大整数。设正数数列满足：求证（05年湖北卷第（22）题）简析 当时，即 于是当时有 注：本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩； 引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。例13 设，求证：数列单调递增且 解析 引入一个结论：若则（证略）整理上式得（）以代入（）式得即单调递增。以代入（）式得此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。 注：上述不等式可加强为简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩： 故有上述数列的极限存
