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1、 1 金融工程学 习题及参考答案 金融工程学 习题及参考答案 2 无套利定价和风险中性定价无套利定价和风险中性定价 练习练习 1 假定外汇市场美元兑换马克的即期汇率是 1 美元换 1 8 马克 美元利率是 8 马克利 率是 4 试问一年后远期无套利的均衡利率是多少 2 银行希望在 6 个月后对客户提供一笔 6 个月的远期贷款 银行发现金融市场上即期利 率水平是 6 个月利率为 9 5 12 个月利率为 9 875 按照无套利定价思想 银行为 这笔远期贷款索要的利率是多少 3 假如英镑与美元的即期汇率是 1 英镑 1 6650 美元 远期汇率是 1 英镑 1 6600 美元 6 个月期美远与英镑
2、的无风险年利率分别是 6 和 8 问是否存在无风险套利机会 如 存在 如何套利 4 一只股票现在价格是 40 元 该股票一个月后价格将是 42 元或者 38 元 假如无风险利 率是 8 用无风险套利原则说明 执行价格为 39 元的一个月期欧式看涨期权的价值 是多少 5 条件同题 4 试用风险中性定价法计算题 4 中看涨期权的价值 并比较两种计算结果 6 一只股票现在的价格是 50 元 预计 6 个月后涨到 55 元或是下降到 45 元 运用无套利 定价原理 求执行价格为 50 元的欧式看跌期权的价值 7 一只股票现在价格是 100 元 有连续两个时间步 每个步长 6 个月 每个单步二叉树 预期
3、上涨 10 或下跌 10 无风险利率 8 连续复利 运用无套利原则求执行价 格为 100 元的看涨期权的价值 8 假设市场上股票价格 S 20 元 执行价格 X 18 元 r 10 T 1 年 如果市场报价欧式 看涨期权的价格是 3 元 试问存在无风险的套利机会吗 如果有 如何套利 9 股票当前的价格是 100 元 以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别 是 3 元和 7 元 如果买入看涨期权 卖出看跌期权 再购入到期日价值为 100 的无风 险债券 则我们就复制了该股票的价值特征 可以叫做合成股票 试问无风险债券的 投资成本是多少 如果偏离了这个价格 市场会发生怎样的套利行为 参
4、考答案参考答案 1 按照式子 1 8 美元 1 8 1 4 马克 得到 1 美元 1 7333 马克 2 设远期利率为 i 根据 1 9 5 1 i 1 9 875 i 9 785 3 存在套利机会 其步骤为 1 以 6 的利率借入 1655 万美元 期限 6 个月 2 按市场汇率将 1655 万美元换成 1000 万英镑 3 将 1000 万英镑以 8 的利率贷出 期限 6 个月 4 按 1 6600 美元 英镑的远期汇率卖出 1037 5 万英镑 5 6 个月后收到英镑贷款本息 1040 8 万英镑 1000e0 08 0 5 剩余 3 3 万英镑 6 用 1037 5 万元英镑换回 17
5、22 3 万美元 1037 5 1 66 7 用 1715 7 美元 1665 e0 06 0 5 归还贷款本息 剩余 6 6 万美元 8 套利盈余 6 6 万美元 3 3 万英镑 4 考虑这样的证券组合 购买一个看涨期权并卖出 股股票 如果股票价格上涨到 42 元 组合价值是 42 3 如果股票价格下降到 38 元 组合价值是 38 若两者相等 则 42 3 38 075 可以算出一个月后无论股票价格是多少 组合 的价值都是 28 5 今天的价值一定是 28 5 的现值 即 28 31 28 5 e 0 08 0 08333 即 f 40 28 31 f 是看 涨期权价格 f 1 69 3
6、5 按照风险中性的原则 我们首先计算风险中性条件下股票价格向上变动的概率 p 它满 足等式 42p 38 1 p 40 e0 08 0 08333 p 0 5669 期权 的价值是 3 0 5669 0 0 4331 e 0 08 0 08333 1 69 同题 4 按照无套利定价原则计算的结果相同 6 考虑这样的组合 卖出一个看跌期权并购买 股股票 如果股票价格是 55 元 组合的 价值是 55 如果股票的价格是 45 元 组合的价值是 45 5 若两者相等 则 45 5 55 05 一个月后无论股票价格如何变化 组合的价值都是 27 5 今天的价值则一定 是 27 5 的现值 即 27 5
7、 e 0 1 0 5 26 16 这意味着 p 50 26 16 p 1 16 p 是看跌期 权的价值 7 按照本章的符号 u 1 1 d 0 9 r 0 08 所以 p e0 08 0 5 0 9 1 1 0 9 0 7041 这里 p 是风 险中性概率 期权的价值是 0 70412 21 2 0 7041 0 2959 0 0 29592 0 e 0 08 9 61 8 本题中看涨期权的价值应该是 S Xe rT 20 18e 0 1 3 71 显然题中的期权价格小于此数 会引发套利活动 套利者可以购买看涨期权并卖空股票 现金流是 20 3 17 17 以 10 投 资一年 成为 17 e
8、0 1 18 79 到期后如果股票价格高于 18 套利者以 18 元的价格执行期 权 并将股票的空头平仓 则可获利 18 79 18 0 79 元 若股票价格低于 18 元 比如 17 元 套利者可以购买股票并将股票空头平仓 盈利是 18 79 17 1 79 元 9 无风险证券的投资成本因该是 100 7 3 96 元 否则 市场就会出现以下套利活动 第一 若投资成本低于 96 元 比如是 93 元 则合成股票的成本只有 97 元 7 3 93 相对于股票投资少了 3 元 套利者以 97 元买入合成股票 以 100 元卖空标的股票 获得无 风险收益 3 元 第二 若投资成本高于 96 元 比
9、如是 98 元 则合成股票的成本是 102 元 高于股 票投资成本 2 元 套利者可以买入股票同时卖出合成股票 可以带来 2 元的无风险利润 4 无套利分析 远期和期货无套利分析 远期和期货 练习 1 某交易商拥有 1 亿日元远期空头 远期汇率为 0 008 美元 日元 如果合约到期 时汇率分别为 0 0074 美元 日元和 0 0090 美元 日元 那么该交易商的盈亏如 何 2 目前黄金价格为 500 美元 盎司 1 年远期价格为 700 美元 盎司 市场借贷年利 率为 10 假设黄金的储藏成本为 0 请问有无套利机会 3 一交易商买入两份橙汁期货 每份含 15000 磅 目前的期货价格为每
10、磅 1 60 元 初始保证金为每份 6000 元 维持保证金为每份 4500 元 请问在什么情况下该交 易商将收到追缴保证金通知 在什么情况下 他可以从保证金账户中提走 2000 元 4 一个航空公司的高级主管说 我们没有理由使用石油期货 因为将来油价上升 和下降的机会是均等的 请对此说法加以评论 5 每季度计一次复利的年利率为 14 请计算与之等价的每年计一次复利的年利率 和连续复利年利率 6 每月计一次复利的年利率为 15 请计算与之等价的连续复利年利率 7 某笔存款的连续复利年利率为 12 但实际上利息是每季度支付一次 请问 1 万 元存款每季度能得到多少利息 8 假设连续复利的零息票利
11、率如下 期限 年 年利率 1 期限 年 年利率 1 12 0 2 2 13 0 3 3 13 7 4 4 14 2 5 5 14 5 请计算第 2 3 4 5 年的连续复利远期利率 9 假设连续复利的零息票利率分别为 期限 月 年利率 3 期限 月 年利率 3 8 0 6 6 8 2 9 9 8 4 12 12 8 5 15 15 8 6 18 18 8 7 请计算第 2 3 4 5 6 季度的连续复利远期利率 10 假设一种无红利支付的股票目前的市价为 20 元 无风险连续复利年利率为 10 求该股票 3 个月期远期价格 11 假设恒生指数目前为 10000 点 香港无风险连续复利年利率为
12、10 恒生指数 股息收益率为每年 3 求该指数 4 个月期的期货价格 12 某股票预计在 2 个月和 5 个月后每股分别派发 1 元股息 该股票目前市价等于 5 30 所有期限的无风险连续复利年利率均为 6 某投资者刚取得该股票 6 个月期的远期 合约空头 请问 该远期价格等于多少 若交割价格等于远期价格 则远期合约的初始 值等于多少 3 个月后 该股票价格涨到 35 元 无风险利率仍为 6 此时远期价格和 该合约空头价值等于多少 13 假设目前白银价格为每盎司 80 元 储存成本为每盎司每年 2 元 每 3 个月初预 付一次 所有期限的无风险连续复利率均为 5 求 9 个月后交割的白银期货的
13、价格 14 有些公司并不能确切知道支付外币的确切日期 这样它就希望与银行签订一种在 一段时期中都可交割的远期合同 公司希望拥有选择确切的交割日期的权力以匹配它的现 金流 如果把你自己放在银行经理的位置上 你会如何对客户想要的这个产品进行定价 15 有些学者认为 远期汇率是对未来汇率的无偏预测 请问在什么情况下这种观 点是正确的 16 一家银行为其客户提供了两种贷款选择 一是按年利率 11 一年计一次复利 贷出现金 一是按年利率 2 一年计一次复利 货出黄金 黄金贷款用黄金计算 并需 用黄金归还本息 假设市场无风险连续复利年利率为 9 25 储存成本为每年 0 5 连续 复利 请问哪种贷款利率较
14、低 17 瑞士和美国两个月连续复利率分别为 2 和 7 瑞士法郎的现货汇率为 0 6500 美元 2 个月期的瑞士法郎期货价格为 0 6600 美元 请问有无套利机会 18 一个存款账户按连续复利年利率计算为 12 但实际上是每个季度支付利息的 请问 10 万元存款每个季度能得到多少利息 19 股价指数期货价格大于还是小于指数预期未来的点数 请解释原因 参考答案 1 若合约到期时汇率为 0 0075 美元 日元 则他赢利 1 亿 0 008 0 0075 5 万美元 若合约到期时汇率为 0 0090 美元 日元 则他赢利 1 亿 0 008 0 009 10 万美元 2 套利者可以借钱买入 1
15、00 盎司黄金 并卖空 1 年期的 100 盎司黄金期货 并等 到 1 年后交割 再将得到的钱用于还本付息 这样就可获得无风险利润 3 如果每份合约损失超过 1500 元他就会收到追缴保证金通知 此时期货价格低 于 1 50 元 磅 当每份合约的价值上升超过 1000 元 即期货价格超过 1 667 元 磅时 他就可以从其保证金账户提取 2000 元了 4 他的说法是不对的 因为油价的高低是影响航空公司成本的重要因素之一 通 过购买石油期货 航空公司就可以消除因油价波动而带来的风险 5 每年计一次复利的年利率 1 0 14 4 4 1 14 75 连续复利年利率 4ln 1 0 14 4 13
16、 76 6 连续复利年利率 12ln 1 0 15 12 14 91 7 与 12 连续复利利率等价的每季度支付一次利息的年利率 4 e0 03 1 12 18 因此每个季度可得的利息 10000 12 8 4 304 55 元 6 8 第 2 3 4 5 年的连续复利远期利率分别为 第 2 年 14 0 第 3 年 15 1 第 4 年 15 7 第 5 年 15 7 9 第 2 3 4 5 6 季度的连续复利远期利率分别为 第 2 季度 8 4 第 3 季度 8 8 第 4 季度 8 8 第 5 季度 9 0 第 6 季度 9 2 10 期货价格 20e 0 1 0 25 20 51 元 11 指数期货价格 10000e 0 1 0 05 4 12 10125 78 点 12 1 2 个月和 5 个月后派发的 1 元股息的现值 e 0 06 2 12 e 0 06 5 12 1 96 元 远期价格 30 1 96 e 0 06 0 5 28 89 元 若交割价格等于远期价格 则远期合约的初始价格为 0 2 3 个月后的 2 个月派发的 1 元股息的现值 e 0 06 2 12 0
