《2011届高考数学总复习直通车课件----推理与证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011届高考数学总复习直通车课件----推理与证明（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学直通车 推理与证明 知识体系 第一节合情推理与演绎推理 基础梳理 1 合情推理 1 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 简言之 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 2 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 3 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 2 演绎推理 1 演绎
2、推理 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 我们把这种推理称为演绎推理 简言之 演绎推理是由一般到特殊的推理 2 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 常用格式 大前提 M是P 小前提 S是M 结论 典例分析 题型一归纳推理 例1 如图所示 一个质点在第一象限运动 在第一秒钟内它由原点运动到 0 1 而后接着按图所示在与x轴 y轴平行的方向上运动 且每秒移动一个单位长度 那么2000秒后 这个质点所处位置的坐标是 A 44 25 B 45 25 C 25 45 D 24 44 S是P 分析归纳走到
3、 n n 处时 移动的长度单位及方向 解质点到达 1 1 处 走过的长度单位是2 方向向右 质点到达 2 2 处 走过的长度单位是6 2 4 方向向上 质点到达 3 3 处 走过的长度单位是12 2 4 6 方向向右 质点到达 4 4 处 走过的长度单位是20 2 4 6 8 方向向上 猜想 质点到达 n n 处 走过长度单位是2 4 6 2n n n 1 且n为偶数时运动方向与y轴相同 n为奇数时运动方向与x轴相同 所以2000秒后是指质点到达 44 44 后 继续前进了20个单位 由图中规律可得向左前进了20个单位即质点位置是 24 44 学后反思归纳推理的一般步骤 1 通过观察个别情况发
4、现某些相同的性质 2 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 举一反三 在数列 an 中 n N 试猜想这个数列的通项公式 解析 题型二类比推理 例2 类比实数的加法和向量的加法 列出它们相似的运算性质 分析实数的加法所具有的性质 如结合律 交换律等 都可以和向量加以比较 解 1 两实数相加后 结果是一个实数 两向量相加后 结果仍是向量 2 从运算律的角度考虑 它们都满足交换律和结合律 即 a b b a a b b a a b c a b c a b c a b c 3 从逆运算的角度考虑 二者都有逆运算 即减法运算 即a x 0与a x 0都有唯一解 x a与x a 4 在实
5、数加法中 任意实数与0相加都不改变大小 即a 0 a 在向量加法中 任意向量与零向量相加 既不改变该向量的大小 也不改变该向量的方向 即a 0 a 学后反思 1 类比推理是个别到个别的推理 或是由一般到一般的推理 2 类比是对知识进行理线串点的好方法 在平时的学习与复习中 常常以一到两个对象为中心 把与它有类似关系的对象归纳整理成一张图表 便于记忆运用 举一反三 2 类比圆的下列特征 找出球的相关特征 1 平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆 2 平面内不共线的三个点确定一个圆 3 圆的周长和面积可求 4 在平面直角坐标系中 以点为圆心 r为半径的圆的方程为 解析 1 在空间中与定点距离等于
6、定长的点的集合是球 2 空间中不共面的四个点确定一个球 3 球的表面积与体积可求 4 在空间直角坐标系中 以点为球心 r为半径的球的方程为 题型三演绎推理 例3 12分 已知函数 其中a 0 b 0 x 0 试确定f x 的单调区间 并证明在每个单调区间上的增减性 分析利用演绎推理证明 证明设 1 则 3 当 时 6 0 即 7 f x 在 0 上是减函数 8 当时 10 0 即 11 f x 在 上是增函数 12 学后反思这里用了两个三段论的简化形式 都省略了大前提 第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义 第二个三段论所依据的大前提是增函数的定义 小前提分别是f x 在 0 上满足减函数的
7、定义和f x 在 上满足增函数的定义 这是证明该问题的关键 举一反三 3 用三段论证明函数f x 2x在 1 上是增函数 证明设 1 1 则 题型四演绎推理在证明题中的应用 例4 在梯形ABCD中 AB DC AD AC和BD是它的对角线 求证 AC平分 BCD DB平分 CBA 分析在用演绎推理证明问题时 一定要按 三段论 的形式推理 当然有时可以省略大前提或小前提 证明如图 1 等腰三角形两底角相等 大前提 DAC是等腰三角形 DA DC是两腰 小前提 1 2 结论 2 两条平行线被第三条直线截出的内错角相等 大前提 1和 3是平行线AD BC被AC截出的内错角 小前提 1 3 结论 3
8、等于同一个量的两个量相等 大前提 2和 3都等于 1 小前提 2 3 结论 即AC平分 BCD 4 同理DB平分 CBA 学后反思证明中如果把 4 也详细地写出 则一共通过六次三段论的形式 因此一个命题的证明形式 确切地应叫做复合三段论的形式 或说命题的推证方法是复合三段论 但是事实上 每一次三段论的大前提并不写出 某一次三段论的小前提如果是它前面三段论的结论 也就不再写出了 如例3的证明可写成 DA DC 省略了大前提 1 2 AD BC 且被AC截得内错角为 1和 3 省略大前提 1 3 2 3 即AC平分 BCD 省略大前提 小前提 同理可证DB平分 ABC 这样 一般地 在推证命题时所
9、采用的这种表达的方法 就叫做简化的复合三段论法 举一反三4 在锐角三角形ABC中 AD BC于D 求证 1 ABD是直角三角形 2 若M是AB的中点 则DM AB 证明 1 因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形 大前提 在 ABC中 AD BC 即 ADB 90 小前提 所以 ABD是直角三角形 结论 2 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 大前提 DM是Rt ADB斜边上的中线 小前提 所以DM AB 结论 易错警示 例1 在Rt ABC中 三边长分别为a b c 则 类比在三棱锥中有何结论 错解在三棱锥V ABC中 有 错解分析错误在于没有注意到原命题中的三角形是直角三角形 在解
10、题中没有把三棱锥的题设与其进行类比 正解在三棱锥V ABC中 VA VB VC 则 例2 对任意x N 猜想 与的大小 错解当n 1时 当n 2时 当n 3时 当n 4时 综上可猜想 与的大小关系不确定 错解分析在归纳推理时 对n的取值一般要多取几个值进行观察 不要仅写出前几项就盲目地下结论 正解当n 1 2 3 4时同 错解 当n 5时 当n 6时 当n 7时 当n 8时 综上可猜想 当n N 且n 3时 总有 11 观察下列等式 由上面两式的结构规律 你是否能提出一个猜想 并证明你的猜想 10 2010 宁夏银川模拟 观察下列不等式 1 由此猜想第n个不等式 解析 由1 可猜想第n个不等式
11、为 答案 考点演练 解析由 可看出 两角差为30 则它们的相关形式的函数运算式的值均为 猜想 若 30 则 30 也可直接写成下面进行证明 故 12 用 三段论 的形式写出下列演绎推理 1 若两角是对顶角 则这两角相等 所以若两角不相等 则这两角不是对顶角 2 矩形的对角线相等 正方形是矩形 所以正方形的对角线相等 3 0 332 是有理数 4 y sinx x R 是周期函数 解析 1 两个角是对顶角 则两角相等 大前提 1和 2不相等 小前提 1和 2不是对顶角 结论 2 每一个矩形的对角线相等 大前提 正方形是矩形 小前提 正方形的对角线相等 结论 3 所有的循环小数都是有理数 大前提
12、0 332 是循环小数 小前提 0 332 是有理数 结论 4 三角函数是周期函数 大前提 y sinx是三角函数 小前提 y sinx是周期函数 结论 第二节直接证明与间接证明 基础梳理 1 证明 1 证明分为与 直接证明包括 等 间接证明主要是 2 综合法 一般地 利用 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 3 分析法 一般地 出发 逐步寻求使 直至最后 把要证明的结论归结为 已知条件 定义 定理 公理等 这种证明的方法叫做分析法 直接证明 间接证明 综合法 分析法 反证法 已知条件和某些数学定义 定理 公理等 从要证明的结论 它成立的充分条件 判定一
13、个明显成立的条件 原命题不成立 正确的推理 假设错误 证明了原命题成立 由因导果 4 反证法 一般地 假设 即在原命题的条件下 结论不成立 经过 最后得出矛盾 因此说明 从而 这样的证明方法叫做反证法 2 直接证明 1 综合法是 它是从已知条件出发 顺着推证 经过一系列的中间推理 最后导出所证结论的真实性 用综合法证明题的逻辑关系 B A为已知条件或数学定义 定理 公理 B为要证结论 它的常见书面表达是 或 2 分析法是 它是从要证的结论出发 倒着分析 逐渐地靠近已知 3 间接证明用反证法证明问题的一般步骤 1 假定所要证的结论不成立 而设结论的反面 否定命题 成立 否定结论 2 将 反设 作
14、为条件 由此出发经过正确的推理 导出矛盾 与已知条件 已知的公理 定义 定理及明显的事实矛盾或自相矛盾 推导矛盾 3 因为推理正确 所以产生矛盾的原因在于 反设 的谬误 既然结论的反面不成立 从而肯定了结论成立 结论成立 执果索因 反设 归谬 结论 典例分析 分析从已知条件和已知不等式入手 推出所要证明的结论 题型一综合法的应用 例1 已知a b 0 求证 证明 a b 0 b 即2b 进而 2b a b a b 2b 即0 2 a b 学后反思综合法从正确地选择已知真实的命题出发 依次推出一系列的真命题 最后达到我们所要证明的结论 在用综合法证明命题时 必须首先找到正确的出发点 也就是能想到
15、从哪里起步 我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质 逐层推进 从而由已知逐渐引出结论 举一反三 1 设a 0 b 0 a b 1 求证 证明 a b 1 当且仅当a b 时 成立 题型二分析法的应用 例2 设a b c为任意三角形三边长I a b c S ab bc ca 试证 I2 4S 分析将I平方得出a b c两两乘积及a2 b2 c2和的式子 比较已知条件和结论 宜采用分析法 证明I2 a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ac a2 b2 c2 2S 故要证I2 4S 只需证a2 b2 c2 2S 4S 即a2 b2 c2 2S 这对于保证结论成立是充分必
16、要的 欲证上式 只需证a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 0 即证 a2 ab ac b2 bc ba c2 ca cb 0 只需证三括号中的式子均为负值即可 即证a2 ab ac b2 bc ba c2 ca cb 即a b c b a c c a b 它们显然成立 因为三角形任一边小于其他两边之和 故I2 4S 学后反思 1 应用分析法易于找到思路的起始点 可探求解题途径 2 应用分析法证明问题时要注意 严格按分析法的语言表达 下一步是上一步的充分条件 2 若sin cos 1 求证 sin6 cos6 1 举一反三 证明 由sin cos 1 sin2 cos2 2sin cos 1sin cos 0 欲证sin6 cos6 1 只需证 sin2 cos2 sin4 sin2 cos2 cos4 1 即证sin4 cos4 sin2 cos2 1 即证 sin2 cos2 2 3sin2 cos2 1 即证sin2 cos2 0 由 式知 上式成立 故原式成立 题型三反证法的应用 例3 14分 若a b c均为实数 且a x2 2y b y2 2z c z2 2x 求证 a
