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1、课程设计报告实验名称：ESPRIT算法研究实验日期：姓 名：学 号： 哈尔滨工业大学（威海）一、 设计任务实现空间谱估计算法，并考察算法性能。二、 方案设计1） 由均匀线阵形式，确定阵列的导向矢量；2） 由阵列导向矢量，对接收信号进行建模仿真；3） 由ESPRIT算法实现信号DOA估计；4） 考察算法性能与信噪比，采样率，观测时间等参数的关系。三、 设计原理3.1空间谱估计数学模型空间谱估计就是利用空间阵列实现空间信号的参数估计的一项专门技术。整个空间谱估计系统应该由三部分组成：空间信号入射、空间阵列接收及参数估计。相应地可分为三个空间，即目标空间、观察空间及估计空间，也就是说空间谱估计系统由
2、这三个空间组成，其框图见图1。图1 空间谱估计的系统结构对于上述的系统结构，作以下几点说明。(1)目标空间是一个由信号源的参数与复杂环境参数张成的空间。对于空间谱估计系统，就是利用特定的一些方法从这个复杂的目标空间中估计出信号的未知参数。(2)观察空间是利用空间按一定方式排列的阵元，来接收目标空间的辐射信号。由于环境的复杂性，所以接收数据中包括信号特征(方位、距离、极化等)和空间环境特征(噪声、杂波、干扰等)。另外由于空间阵元的影响，接收数据中同样也含有空间阵列的某些特征(互耦、通道不一致、频带不一致等)。这里的观察空间是一个多维空间，即系统的接收数据是由多个通道组成，而传统的时域处理方法通常
3、只有一个通道。特别需要指出的是：通道与阵元并不是一一对应，通道是由空间的一个、几个或所有阵元合成的(可用加权或不加权)，当然空间某个特定的阵元可包含在不同的通道内。(3)估计空间是利用空间谱估计技术(包括阵列信号处理中的一些技术，如阵列校正、空域滤波等技术)从复杂的观察数据中提取信号的特征参数。从系统框图中可以清晰的看出，估计空间相当于是对目标空间的一个重构过程，这个重构的精度由众多因素决定，如环境的复杂性、空间阵元间的互耦、通道不一致、频带不一致等。3.2 阵列信号处理首先，考虑N个远场的窄带信号入射到空间某阵列上，阵列天线由M个阵元组成，这里假设阵元数等于通道数，即各阵元接收到信号后经过各
4、自的传输信道送到处理器，也就是说处理器接收来自M个通道的数据。 (3.2-1)式中，是接受信号的幅度，是接收信号的相位，是接收信号的频率。在窄带远场信号源的假设下，有 (3.2-2)根据式(3.2-1)和式(3.2-2)，显然有下式成立： (3.2-3)则可以得到第L个阵元接收信号为 (3.2-4)式中，为第L个阵元对第i个信号的增益，表示第L个阵元在t时刻的噪声，表示第i个信号到达第L个阵元时相对参考阵元的时延。将M个阵元在特定时刻接收的信号排列成一个列矢量，可得(3.2-5)在理想情况下，假设阵列中各阵元是各向同性的且不存在通道不一致、互耦等因素的影响，则式(3.2-4)中的增益可以省略(
5、即归一化1)，在此假设下式(3.2-5)可以简化为 (3.2-6)将式(3.2-6)写成矢量形式如下： (3.2-7)式中，为阵列的维快拍数据矢量，为阵列的维噪声数据矢量，为空间信号的维矢量，A为空间阵列的维流型矩阵(导向矢量阵)，且 (3.2-8)其中导向矢量 (3.2-9)式中，c为光速，为波长。由上述的知识可知，一旦知道阵元间的延迟表达式，就很容易得出待定空间阵列的导向矢量或阵列流型。下面推导一下空间阵元间的延迟表达式。假设空间任意两个阵元，其中一个为参考阵元(位于原点)，另一个阵元的坐标为(x ,y, z)，两阵元的几何关系见图，图中“”表示阵元。图2 空间任意两阵元的几何关系由几何关
6、系可以推导出两阵元的波程差为 (3.2-10)这里的波程差其实就是位于x轴上两阵元间的延迟、位于y轴上两阵元间的延迟和位于z轴上两阵元间的延迟之和。根据式(3.2-10)的结论，下面给出实际环境中常用的几种阵列及阵元间的相互延迟表达式。(1)平面阵设阵元的位置为，以原点为参考点，另假设信号入射参数为，分别表示方位角与俯仰角，其中方位角表示与x轴的夹角。(2)线阵设 阵元的位置为，以原点为参考点，另假设信号入射参数为，表示方位角，其中方位角表示与y轴的夹角（即与线阵法线的夹角），则有 (3.2-11)(3)均匀圆阵 设以均匀圆阵的圆心为参考点，则有 (3.2-12)其中方位角表示与x轴的夹角，r
7、为圆半径。3.3旋转不变子空间算法原理3.3.1信号模型 算法介绍前，首先对信号进行建模。为了推导分析的方便，将波达方向的数学模型做如下理想状态的假设：1) 阵列形式为线性均匀阵，阵元间距不大于信号波长的二分之一。2) 存生两个完全相同的子阵，且两个子阵的间距是己知的。 3) 噪声序列为一零均值高斯过程，各阵元间噪声相互独立，噪声与信号也相互独立。4) 空间信号为零均值平稳随机过程，通常为窄带远场信号。5) 信号源数小于子阵阵列元数，信号取样数大于子阵阵列元数，以确保子阵阵列流型的各列线性独立。6) 组成阵列的各传感器为各向同性阵元，且无互耦以及通道不一致的干扰。图3-1均匀线阵的数学模型示意
8、图下图给出了均匀线阵的数学模型示意图:3.3.2 算法原理对于均匀线阵，相邻子阵间存在一个固定间距，这个固定间距反映出各相邻子阵间的一个固定关系，即子阵间的旋转不变性，而ESPRIT算法正是利用了这个子阵间的旋转不变性实现阵列的DOA估计。ESPRIT算法最基本的假设是存在两个完全相同的子阵，且两个子阵的间距是已知的。由于两个子阵的结构完全相同，且子阵的阵元数为m，对于同一个信号而言，两个子阵的输出只有一个相位差，=1，2， N。下面假设第一个子阵的接收数据为，第二个子阵的接收数据为，根据前面所述的阵列模型可知 (3.1) (3.2)式中，子阵1的阵列流型=A，子阵2的阵列流型= ，且式中 （
9、3.3）从上面的数学模型可知，需要求解的是信号的方向，而信号的方向信息包含在A和中，由于是一个对角阵，所以下面只考虑这个矩阵，即 （3.4）由上可知。只要得到两个子阵间的旋转不变关系，就可以方便地得到关于信号到达角的信息。下面的任务就是从式（3.1）和式（3.2）中得到两个子阵间的关系。先将两个子阵的模型进行合并，即 （3.5）在理想条件下，可得上式的协方差矩阵 (3.6) 对上式进行特征分解可得 （3.7）显然上式中得到的特征值有如下关=，US为大特征值对应的特征矢量张成的信号子空间，为小特征值对应矢里张成的噪声子空间。对于实际的快拍数据，式(3.7)应修正如下： (3.8) 由前面的知识可
10、知，上述的特征分解中大特征矢量张成的信号子空间与阵列流型张成的信号子空间是相等的。即 (3.9)此时，存在一个惟一的非奇异矩阵T，使得 （3.10）显然，上述的结构对两个子阵都成立，所以有 （3.11） 很显然 ，由子阵1的大特征矢量张成的子空间、由子阵2的大特征矢量张成的子空间与阵列流型A张成的子空间三者相等，即 （3.12） 另外，由两个子阵列在阵列流型上的关系可知 （3.13）再利用式（3.11）可知两个子阵列的信号子空间的关系如下: （3.14）式（3.13）反映了两个子阵列的阵列流型间的旋转不变性，而式（3.14）反映了两个子阵的阵列接收数据的信号子空间的旋转不变性。如果阵列流型A是
11、满秩矩阵，则由式（3.14）可以得到 （3.15）所以上式中的特征值组成的对角阵一定等于，而矩阵T的各列就是矩阵特征矢量。所以一旦得到上述的旋转不变关系矩阵，就可以直接利用式（3.4）得到信号的入射角度。3.4 标准的旋转不变子空间算法有上节的知识可知， ESPRIT算法的基本原理就是利用式（3.14）的旋转不变性，常规的旋转不变子空间算法就是利用上述的基本原理求解信号的入射角度信息。下面就分析解这个等式的两种最经典、应用最广泛方法:最小二乘（LS）法和总体最小二乘（TLS）法。3.4.1 最小二乘法由最小二乘的数学知识，我们知道式（3.14）的最小二乘解的方法等价于，约束条件 （3.16）因
12、此最小二乘法的基本思想就是使校正项尽可能小，而同时保证满足约束条件。为了得到LS解，将式（3.14）代入式（3.16）即得 （3.17）对上式进行展开可得 = （3.18）上式对求导并令其等于0，可得 （3.19）上式的解显然有两种可能:(1) 当满秩时，也就是子阵1的信号子空间的维数等于信号源数时，则上式的解是唯一的，可得上式的最小二乘解 （3.20） (2) 当不满秩，即时，也就是信号源间存在相干或相差时，则存在很多解，但我们却无法区别对应于方程的各个不同的解，可以称这些解是不可辨识的，解的不可辨识性是我们需要解相干的原因所在。下面给出LS-ESPRIT算法的求解步骤：1由两个子阵的接收数
13、据,，分别得到两个子阵的数据协方差矩阵；2对矩阵对R, 进行特征分解，从而得到两个数据矩阵的信号子空间和；3按式（3.20）得到矩阵，然后对其进行特征分解.得到N个特征值，就可得到对应的N个信号的到达角。当考虑嗓声影响时，上述基于最小二乘算法的估计都是有偏的，这就是为什么需要考虑总体最小二乘ESPRIT算法的原因。3.4.2 总体最小二乘法 我们知道，普通最小二乘的基本思想是用一个范数平方为最小的扰动去于扰信号子空间，目的是校正中存在的嗓声。显然这就存在一个问题：如果同时扰动和，并使扰动范数的平方保持最小，是否可以同时校正和中存在的嗓声?答案是肯定的，这就是总休最小二乘（TLS）的思想。它考虑的是如下矩阵方程的解:
