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1、第四章综合素质检测时间120分钟,满分150分。一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)(x3)ex的单调递减区间是()A(,2)B(0,3)C(1,4)D(2,)答案A解析f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex,令f(x)0,解得x0在1,1上恒成立,即f(x)在1,1上是单调递增的,故当x1时,f(x)max6.4(2014浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值,则a()A2B3C4D5答案D解析f (x)3x22ax3,由条件知,x3是方程f (x)0的实数根,a5.5(
2、2014淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中,x0是其极值点的函数是()Af(x)x3 Bf(x)cosxCf(x)sinxx Df(x)答案B解析对于A,f (x)3x20恒成立,在R上单调递减,没有极值点;对于B,f (x)sinx,当x(,0)时,f (x)0,故f(x)cosx在x0的左侧区间(,0)内单调递减,在其右侧区间(0,)内单调递增,所以x0是f(x)的一个极小值点;对于C,f (x)cosx10恒成立,在R上单调递减,没有极值点;对于D,f(x)在x0没有定义,所以x0不可能成为极值点,综上可知,答案选B.6已知函数f(x)x3ax2x1在(,)上是单调函数,则实数a的取值
3、范围是()A(,)(,)B(,)C(,)D,答案D解析f (x)3x22ax1,f(x)在(,)上是单调函数,且f (x)的图像是开口向下的抛物线,f (x)0恒成立,4a2120,a,故选D.7如图是函数yf(x)的导函数的图像,给出下面四个判断:f(x)在区间2,1上是增函数;x1是f(x)的极小值点;f(x)在区间1,2上是增函数,在区间2,4上是减函数;x2是f(x)的极小值点其中,所有正确判断的序号是()A BC D答案B解析由函数yf(x)的导函数的图像可知:(1)f(x)在区间2,1上是减函数,在1,2上是增函数,在2,4上是减函数;(2)f(x)在x1处取得极小值,在x2处取得
4、极大值故正确8(2014银川九中二模)已知f(x)x2sin(x),f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的图像是()答案A解析f(x)x2cosx,f(x)xsinx,1sinx1,且f (x)f (x),f (x)为奇函数,排除B、D;令g(x)xsinx,则g(x)cosx,当x(0,)时,g(x)0,g(x)在(0,)上为减函数,即f (x)在(0,)上为减函数,排除C,故选A.9(2013华池一中高二期中)若关于x的方程x33xm0在0,2上有根,则实数m的取值范围是()A2,2 B0,2C2,0 D(,2)(2,)答案A解析令f(x)x33xm,则f (x)3x233(x1)(x1
5、),显然当x1时,f (x)0,f(x)单调递增,当1x1时,f (x)0,f(x)单调递减,在x1时,f(x)取极大值f(1)m2,在x1时,f(x)取极小值f(1)m2.f(x)0在0,2上有解,2m2.10(2014天门市调研)已知函数f(x)asinxbcosx在x时取得极值,则函数yf(x)是()A偶函数且图像关于点(,0)对称B偶函数且图像关于点(,0)对称C奇函数且图像关于点(,0)对称D奇函数且图像关于点(,0)对称答案D解析f(x)的图像关于x对称,f(0)f(),ba,f(x)asinxbcosxasinxacosxasin(x),f(x)asin(x)asin(x)asi
6、nx.显然f(x)是奇函数且关于点(,0)对称,故选D.二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,将正确答案填在题中横线上)11已知函数f(x)x3x2cxd有极值,则c的取值范围为_答案c0.解得c1e,从而f(x)maxf(1)1.13(2014沈阳质检)已知函数f(x)x(xa)(xb)的导函数为f(x),且f(0)4,则a22b2的最小值为_答案8解析f(x)x(xa)(xb),f(x)(xa)(xb)x(xa)(xb),f(0)ab4,a22b22ab8.14若函数yx36x2m的极大值等于13,则实数m等于_答案19解析y3x212x,由y0,得x0或x4,容易得出当x4
7、时函数取得极大值,所以43642m13,解得m19.15(2014哈六中期中)已知函数f(x2)是偶函数,x2时f (x)0恒成立(其中f (x)是函数f(x)的导函数),且f(4)0,则不等式(x2)f(x3)2时,f (x)0,f(x)在(2,)上单调递增,在(,2)上单调递减,又f(4)0,f(0)0,0x4时,f(x)0,x4时,f(x)0,由(x2)f(x3)0得(1)或(2)由(1)得x3;由(2)得2x0,且f(x)的极大值为5,极小值为1,求f(x)的解析式答案f(x)x33x21解析f(x)x3ax2b,f(x)3x22ax.令f(x)0,得x0或x.又a0,0.当x0时,f
8、(x)0;当x0时,f(x)0.f(x)在(,)和(0,)上是增函数,在(0,)上是减函数f()是f(x)的极大值,f(0)是f(x)的极小值,即f()()3a()2b5;f(0)b1,解得a3,b1.所求的函数解析式是f(x)x33x21.17已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR)(1)若函数f(x)的图像过原点,且在原点处的切线斜率是3,求a,b的值;(2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调,求a的取值范围答案(1)a3或a1,b0(2)(5,)(,1)解析(1)f(x)3x22(1a)xa(a2),由于函数f(x)的图像过原点,则f(0)0,从而b0,又函数图像在
9、原点处的切线斜率是3,则f(0)3,所以a(a2)3,解得a3或a1.(2)令f(x)0,即3x22(1a)xa(a2)0,解得x1a,x2.由于函数f(x)在区间(1,1)上不单调,则有,或,解得,或.所以a的取值范围是(5,)(,1)18(2015北京文,19)设函数f(x)kln x,k0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,上仅有一个零点答案(1)f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,);极小值(2)略解析(1)由f(x)kln x,(k0)得f(x)x.由f(x)0解得x.f(x)与f(x)在区间(0,)上的情况如下:
10、x(0,)(,)f(x)0f(x)所以,f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,);f(x)在x处取得极小值f().(2)由(1)知,f(x)在区间(0,)上的最小值为f().因为f(x)存在零点,所以0,从而ke.当ke时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()0,所以x是f(x)在区间(1,上的唯一零点当ke时,f(x)在区间(0,)上单调递减,且f(1)0,f()0,所以f(x)在区间(1,上仅有一个零点综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间( 1,上仅有一个零点. 19在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子如图,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?答案箱底的边长是40cm时,容积最大,最大容积16000cm3解析设箱底边长为xcm,则箱高hcm,得箱子容积V(x)x2h(0x60),V(x)60x(0x60)令V(x)60x0,解得x0(舍去),x40,并求得V(40)16000.由