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1、 1 第四章圆柱投影 CylindricalProjections 蒲英霞南京大学地理与海洋科学学院2011年10月27日 2 圆柱投影的一般公式等角圆柱投影 墨卡托投影 等面积和等距离圆柱投影斜轴与横轴圆柱投影透视圆柱投影圆柱投影的分析和应用 3 4 1圆柱投影的一般公式 圆柱投影是以圆柱面为投影面 按照某种投影条件 将地球椭球面上的经纬线投影于圆柱面上 并沿圆柱的一条母线切开展成平面的一种投影 圆柱投影的概念 圆柱投影是圆锥投影的一种特殊情况 即设想圆锥顶点移到无穷远时 圆锥面成了圆柱面 4 圆柱投影的分类 切圆柱投影 割圆柱投影 按圆柱面与地球椭球体之间的关系 等角投影 等面积投影和任意
2、投影 按圆柱面与地球椭球体所处的不同位置 正轴圆柱投影 横轴圆柱投影 斜轴圆柱投影 按变形性质 按视点位置 正射 外心 球面 球心等透视圆柱投影 5 经线和纬线投影后均为平行直线 且经纬线正交 正轴圆柱投影的一般公式 6 经差 正轴圆柱投影的一般公式 正轴圆柱投影的经纬线长度比 面积比和最大角度变形 对上式求偏导数 7 一阶基本量分别为 经纬线长度比 面积比和最大角度变形的一般公式为 8 由图4 2 设平面A B C D 是地球面上微分梯形ABCD的投影 其中dx dy是椭球面上经纬线的微分线段在平面上的投影 正轴圆柱投影经纬线长度比 面积比和角度变形公式推导的第二种方法 9 在椭球面上 在投
3、影面上 因此有 10 正轴圆柱投影的一般公式概括为 对于椭球体 对于球体 11 4 2等角圆柱投影 墨卡托投影 等角圆柱投影条件 将经 纬线长度比公式代入 得 改写为 12 将上式积分 13 14 式中K为积分常数 当 0时 x 0 所以有K 0 于是上式为 15 其中c为圆柱投影常数 rk为所割 切 纬线半径 此时仍有一个常数c需要确定 令纬度 k上长度比nk 1 则 即 16 正轴等角圆柱投影的一般公式概括为 该投影是16世纪荷兰地图学家墨卡托 GerardusMercator 1512 1594 所创造 并于1569年首先用于编制海图 故又称墨卡托投影 17 墨卡托与他的 世界地图集 1
4、8 Thewell knownMercatorprojectionwasperhapsthefirstprojectiontobeusedregularlyidentifiedwhenatlasesofoveracenturyagograduallybegantonameprojectionsused apracticenowfairlycommonplace WhiletheprojectionwasapparentlyusedbyErhardEtzlaubofNuremburg 1462 1532 onasmallmaponthecoverofsomesundialsconstructed
5、in1511and1513 theprincipleremainedobscureuntilGerhardusMercator 1512 1594 independentlydevelopeditandpresenteditin1569onalargeworldmapof21sheetstotalingabout1 3by2m 19 Mercator bornatRupelmondeinFlanders wasprobablyoriginallynamedGerhardCremer orKremer buthealwaysusedthelatinizedform Tohiscontempora
6、riesandtolaterscholars heisbetterknownforhisskillsinmapandglobemaking forbeingthefirsttousetheterm atlas todescribeacollectionofmapsinavolume forhiscalligraphy andforfirstnamingNorthAmericaassuchonamapin1538 Totheworldatlarge hisnameisidentifiedchieflywithhisprojection whichhespecificallydevelopedto
7、aidnavigation His1569mapisentitled NovaetAuctaOrbisTerraeDescriptioadUsumNavigantiumEmendateAccommodata AnewandenlargeddescriptionoftheEarthwithcorrectionsforuseinnavigation HedescribedinLatinthenatureoftheprojectioninalargepanelcoveringmuchofhisportrayalofNorthAmerica 20 墨卡托投影的x坐标 又称为 经长 或 渐长纬度 常以D
8、表示 在切圆柱投影中 在航海中 多以海里 赤道上1弧分等于1海里 表示 则有 于是 1海里 1 854公里 21 图4 3等角圆柱投影 墨卡托投影 22 等角航线 Rhumbline 等角航线是地球面上与各经线相交成同一角度的曲线 又名恒向线 斜航线 Loxodrome 由微分三角形ABC得 如图4 4 AB曲线是地球椭球面上与各经线相交成 角的等角航线 23 地球面上的等角航线在墨卡托投影中为直线 等角航线在墨卡托投影中的表象 24 得 积分得 由前面公式 25 等角航线的弧长公式 积分 若设地球为球体 则 26 若方位角接近90 或270 时 弧长计算公式采用下式 27 等角航线在墨卡托投
9、影中为直线 但是它并不是两点间的最短距离 它是以极点为渐近点的一条螺旋曲线 无论 2 4 以至更大角度 终点的纬度不可能等于90 地面上两点间的最短距离是 大圆航线 但 大圆航线 在墨卡托投影上是曲线 令起点 1 0 1 0 把地球当作球体 则有下式 28 等角航线在墨卡托投影中为直线 虽然对航行有很大的方便 但它不是两点间的最短距离 对于远洋航行和长距离飞行 在航行中为了节省能源和时间 通常沿大圆航线 正航线 前进 在正轴球心投影中 大圆航线为一直线 正轴球心投影地图上的大圆航线 29 墨卡托投影图上的大圆航线与等角航线 但因沿大圆航线前进时 需要随时调整航向 这也不方便 为此 常将大圆航线
10、转绘到墨卡托投影地图上 为一曲线 然后将大圆航线划分成若干段 把每段航线连成直线 即为等角航线 这样 对每个航段来说 是按等角航线航行 但就全部航程来说 则接近于代表最短距离的大圆航线 30 4 3等面积和等距离圆柱投影 正轴等面积圆柱投影 等面积投影保持面积不变 即P ab mn 1 积分 式中K为积分常数 S为椭球面上经差为1弧度和纬差为0 到 的梯形面积 当横坐标与赤道重合时 K 0 即 31 正轴等面积圆柱投影的一般公式 32 图4 6等面积圆柱投影 33 正轴等面积切圆柱投影 标准纬线 0 由JohannHeinrichLambert 1728 77 于1772年提出 故称为Lamb
11、ert等积圆柱投影 34 Behrmann等面积圆柱投影 标准纬线 30 35 正轴等距离圆柱投影 在等距离圆柱投影中 沿经线的长度比m 1 即 积分 式中C为积分常数 s为自赤道到 的子午线弧长 当横坐标与赤道重合时 C 0 即 36 正轴等距离圆柱投影的一般公式 37 图4 7等距离圆柱投影 38 正轴等距离切圆柱投影 或PlateCarree投影 标准纬线 0 39 正轴等距离割圆柱投影 或Equirectangular投影 标准纬线 30 40 Miller圆柱投影 属任意圆柱投影 经线投影后的长度是赤道的0 73倍 41 4 4横轴与斜轴圆柱投影 对于横轴 斜轴圆柱投影 垂直圈 投影
12、为平行直线 其间隔与方位角成正比 等高圈 投影为与垂直圈成正交的平行直线 经纬线 投影后一般成为曲线 42 在球面上 在投影面上 横轴与斜轴圆柱投影的一般公式 43 沿垂直圈的长度比 1 沿等高圈的长度比 2和面积比P的表达式 44 横轴等角切圆柱投影 横轴墨卡托投影 在横轴切圆柱投影中 圆柱面切于通过制图区域的中央经线 c 上 在此经线上长度比 c 1 新极Q的纬度为0 经度为 0 c 90 45 根据球面三角形公式 可以得出Z 和 之间的关系式如下 套用正轴等角切圆柱投影公式 并以 相当于 90 Z相当于 以及x y互换 则得到横轴条件下的投影公式 46 横轴墨卡托投影 47 横切圆柱等距
13、离投影 48 4 5透视圆柱投影 图4 9正轴透视圆柱投影示意图 方法 几何透视法 变形性质 任意圆柱投影 经纬线形状 相互正交的直线 如图所示 设圆柱之轴与地轴重合 圆柱面与地球相切或相割 在某一纬线平面上有一视点C 不固定 视点依次旋转 以透视法把位于同一子午面上的经线段投影到圆柱面上 然后连接经线上同纬度的点 将圆柱面展成平面 即得正轴透视圆柱投影 0为圆柱割纬圈的纬度 视点C所在纬平面的纬度为 c 至地轴的距离为D D kR 49 由相似三角形A a0C与AacC的关系得 50 透视圆柱投影根据视点位于不同的纬线平面可以分为 赤道投影 视点位于赤道平面上 即 c 0 中介投影 视点位于
14、赤道面与极点之间的纬圈平面上 即0 c 90 极面投影 视点位于切于极点的平面上 即 c 90 51 根据视点到地轴距离不同 透视圆柱投影又可分为 球心投影 视点位于地轴上 即k 0 球面投影 视点位于球面上 即D Rcos C k cos C 52 外心投影 视点位于球面外 D Rcos C k cos C 正射投影 视点位于无穷远 即K 内部投影 视点位于地轴与球面之间 k cos c 53 正轴等积圆柱投影 就是视点在赤道面上且位于无穷远处的正射透视圆柱投影 其公式为 54 Gall正射圆柱投影 或Peters等面积圆柱投影 标准纬线 45 55 4 6圆柱投影的分析和应用 56 正轴圆
15、柱投影的变形仅与纬度有关 而与经度无关 同一条纬线上变形相等 切圆柱投影中 赤道上没有变形 自赤道向两侧随着纬度的增加而增大 在割圆柱投影中 在两条标准纬线上没有变形 自标准纬线向内 赤道 及向外 两极 增大 在斜轴或横轴圆柱投影中 变形沿着等高圈的增加而增大 在所切的大圆上没有变形 圆柱投影一般较适宜低纬度沿纬线伸展的地区 墨卡托投影因其经线为平行直线 便于显示时区的划分 故较多用来编制世界时区图 57 上机实习 1 绘制正轴等角 等距离 等面积 切圆柱投影的经纬格网 并加绘世界地图 说明 1 三选一 2 范围 90 90 180 180 3 数据文件 Globe txt 坐标顺序 经度 纬度 58 思考题 1 试推导正轴圆柱投影中m n P的变形公式 2 正轴圆柱投影最适宜应用于地球表面什么形状的制图区域 3 试证明墨卡托投影 正轴时 的极点是不能表达的 4 为什么在墨卡托投影的地图上 任意两点间的直线就是等角航线 5 正轴圆柱投影中 如何从一条经线上纬线间隔距离的变化估计该种投影的变形性质
