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1、第十章 双曲线的画法和性质50第十章 双曲线的画法和性质一双曲线的定义：1在平面内，到两个定点 F1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。2双曲线的标准方程：设 M(x, y)是双曲线是上任意一点，双曲线的焦距为 2c (c0)，则如图建立直角坐标系，又 F1、 F2 的坐标分别是 F1(c, 0), F2(c, 0)，若 M 点与 F1、 F2 两点的距离的差的绝对值等于 2a (ca0)，则 |MF1| MF2|2a, , 图 101yxyx)()整理化简，并且设 b2c 2a 2 得双曲线的标准
2、方程 .12a3双曲线的第二定义：设动点 M(x, y)与定点 F(c, 0)的距离和它到定直线 : x 的距离的比是常数 (ca0)，lc2则点 M 的轨迹是双曲线。点 F 是双曲线的一个焦点，直线 是双曲线中对应于焦点 F 的准l线。常数 e (e1)是双曲线的离心率。 a图 1024双曲线的参数方程：以原点为圆心，分别以 a、b (a, b0)为半径作两个圆，|OA|a, |OB|b, 点 P是以 a 为半径的圆上的一个点，点 C 是OA 与半径为 bd 圆的交点，过点 C 作CNOx，交直线 OP 于 N，过点 N 作 OX轴的平行线，过点 P 作 PR OP，交 Ox 轴于 R，过点
3、 R 作直线 RM 交过点 N 的 x 轴的平行线于点 M，当点 P 在圆上运动时，M 点的轨迹是双曲线。设点 M 的坐标是(x , y)， 是以 Ox 为始边，OP 为终边的正角，取 为参数，那么x|OR |OP|sec asec , y|RM |CN|OC| tgbt g,xyO 潆 M MDO B CN 图 103几何画板简明教程51 双曲线的参数方程是 ( 是参数).btgyaxsec二双曲线的画法：画法 1：图 1041在 x 轴上取两点 F1、F 2，使| OF1|OF 2|，用它们作为两个焦点；2在图形外作一条线段 AB，使| AB|2a，(|AB|0)为半径画两个圆;2圆 OA
4、 与 x 轴的正方向交于点 C，过C 作 x 轴的垂线，3在圆 OA 上取一点 P，连接 OP，直线 OP 与过点 C 且和 x 轴垂直的直线交于点N，过点 N 作 x 轴的平行线 NM；4过点 P 作 PR 垂直于 OP，交 x 轴于点 R；5过点 R 在 x 轴的垂线交直线 NM 于点M；6分别选中点 M 和点 P，用 “作图”菜单中的“轨迹”功能，画出双曲线。理论根据：设xOP ，则|OR |OP |secasec, |RM| NC| OC|tgbtg , 根据双曲线的参数方程知，点 M 的轨迹是一个双曲线。 O B CN 图 107第十章 双曲线的画法和性质54三双曲线中动弦的画法(一
5、)双曲线焦点弦的画法：图 1081在坐标系中作出两个焦点 F1、F 2，在图形外作一条线段，使它的长等于 2a(2a|F1F2|)；2以 F1 为圆心，2a 为半径作圆，在圆上任取一点 P，连接 PF2，作 PF2 的中垂线交直线 PF1 于点 M；选中点 M 和点 P，用“轨迹”功能作出双曲线；3连接 PF1 延长与圆交于点 Q；4同样方法作出点 Q 在双曲线上的对应点 N；5连接 MN，则线段 MN 一定过焦点 F1，且点 M、N 都在双曲线上；6保留坐标系、双曲线、焦点和焦点弦 MN，隐藏其它的内容，这时选中点 M，在双曲线上拖动它，则点 N 相应在双曲线上移动，且 MN 始终经过点 F
6、1.理论根据：双曲线上的点 M、N 是由圆上的点 P、Q 得到的，线段 PQ 在大圆上经过定点 F1，则相应的线段 MN 在双曲线上也经过定点 F1.(二) 双曲线中过定点 M 的弦：图 1091用参数方程的画法画出一个双曲线，标出定点 D；愲 OP 几何画板简明教程552在以 a 为半径的圆上取一点 M，作出它在双曲线上的相应点 P；3作 DEOx 轴，垂足是 E，过点 E 作以 a 为半径的圆的切线 ER、ES，连接 RS；4过点 D 作 RS 的垂线，垂足是 D；5连接 MS，延长与圆交于 N，作出点 N 在双曲线上的对应点 Q；6连接 PQ，则 PQ 始终经过点 D，且 P、Q 都在双
7、曲线上；7保留坐标系、双曲线、定点 D 和过定点 D 的弦 PQ，隐藏其它的内容，这时选中点P，在双曲线上拖动它，则点 Q 相应在双曲线上移动，且 PQ 始终经过点 D；.理论根据：双曲线上的点 P、Q 是由大圆上的点 M、N 得到的，线段 MN 在大圆上经过定点 D，则相应的线段 PQ 在双曲线上也经过定点 MD。问题的关键是怎样由点 D 得到点 D，我们看到，点 D 和点 D的纵坐标是一样的，另外在双曲线中过点 D 且垂直于 x 的弦的两个端点在圆上的对应点恰好是 R、S，所以点 D.一定在 RS 上，这样就得到了点 D.(三) 双曲线中平行弦的画法：图 10101用参数方程的画法画出一条
8、双曲线，计算两圆半径的比 a, b，在双曲线上取一点 P；2在图形外画一条斜率为 k 的线段，过点 P 作斜率为 k 的线段的平行线；3选中 a, b, k, 用“计算”算出 的值；2ab4过原点 O 作斜率为 的直线，与过点 P 斜率为 k 的直线相交于点 M；2k5以点 M 为中心，将点 P 旋转 180，得到点 Q，则点 Q 在双曲线上；6连接 PQ，则 PQ 就是斜率为 k 的双曲线中的平行弦；7保留坐标系、双曲线、斜率 k 和 PQ，隐藏其它的内容；选中点 P 在双曲线上拖动点P，则弦 PQ 始终与 AC 平行，且点 P、Q 在双曲线上；8作 PQ 的中点，标记为“ 追踪点”，则点
9、P 运动时，就可以得到中点的轨迹。理论根据：设 P(x1, y1), Q(x2, y2)都在双曲线 上，且 PQ 的斜率为 k，若 PQ 的中点为12byaxM(x0, y0), 有 ， ，两式相减得212byaxkP摎 浣 浣 敲 ka2 獁 第十章 双曲线的画法和性质56。211211 )()( byyaxx , 中点 M 在过原点且斜率为 的直线上。0y21)(ka2kab四双曲线切线的画法：(一) 过双曲线上一个定点 P 的切线：1在直角坐标系中画一条双曲线，同时标出它的两个焦点 F1、F 2；2在双曲线上标出定点 P；图 10113以 F1 为圆心，双曲线的实轴 2a 为半径作圆；4
10、连接 F1P 交圆于点 M；5连接 F2M，作 F2M 的中垂线，这条中垂线过点 P，并且是双曲线的切线。理论根据： 点 P 在双曲线上， |PF 1|PF 2|2a, 又|F 1M|2a， | PF2|MP|, 点 P 在 F2M 的中垂线上，直线 MP 经过点 M 且与双曲线有且仅有一个交点，所以直线MP 是双曲线过点 P 的切线。(二) 过双曲线外一点作双曲线的切线：1在直角坐标系中画一条双曲线，同时标出它的两个焦点 F1、F 2；2在双曲线外标出定点 T；3以点 F1 为圆心，双曲线的实轴 2a 为半径作圆；4以点 T 为圆心，| TF2|为半径作圆，交圆F1 于点 M、N ；5连接 MF2，作 MF2 的中垂线 TCP，同样连接 NF2，作 NF2 的中垂线 TDQ；6直线 TCP、TDQ 都是过点 T 的椭圆的切线。理论根据： 2TNCDP M P几何画板简明教程57点 M、N 在以点 T 为圆心，|TF 2|为半径作圆上， |TF2| TM|TN |，MF 2 的中垂线一定经过定点 T，且中垂线上一定有一点 P，满足|PF 1|PF 2| PF1|PM|2a, 点 P 在双曲线上， PT 是双曲线的切线且 PT 经过点 T；同理 QT 也是椭圆的切线且QT 经过点 T。 图 1012
