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1、2013版高考数学一轮复习精品学案：第八章 解析几何8.6 抛物线【高考新动向】1考纲点击（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。（2）理解数形结合的思想。（3）了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。2热点提示（1）抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，抛物线与直线、椭圆、双曲线的交汇综合题是考查的热点。（2）多以选择、填空题为主，多为中低档题。有时也与直线、椭圆、双曲线交汇考查的解答题，此时属中高档题。【考纲全景透析】1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。注：当定点F在定直线
2、时，动点的轨迹是过点F与直线垂直的直线。2抛物线的标准方程和几何性质标准方程图形性质对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标准线方程焦半径范围顶点离心率【热点难点全析】（一）抛物线的定义及应用相关链接1抛物线的离心率=1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化。2焦半径它们在解题中有重要作用，注意灵活运用。例题解析例已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5。若将抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段长为原抛物线C在x轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C向左平移1个
3、单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程。解答：设所求抛物线方程为(x-h)2=a(y-k)(aR,a0) 由的顶点到原点的距离为5，得=5在中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。设方程的二根为x1,x2，则|x1-x2|=2。将抛物线向上平移3个单位，得抛物线的方程为(x-h)2=a(y-k-3)令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。设方程的二根为x3,x4，则|x3-x4|=2。依题意得2=2，即 4(ak+3a)=ak 将抛物线向左平移1个单位，得(x-h+1)2=a(y-k),由抛物线过原点，得(1-h)2=-ak 由得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k
4、=-4。所求抛物线方程为(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。（二）抛物线的标准方程与几何性质相关链接1求抛物线的标准方程常采用待定系数法。利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值；2对于直线和抛物线有两个交点问题，“点差法”是常用法。如若是抛物线上两点，则直线AB的斜率与可得如下等式。注：抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是关键，在方程类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程。例题解析例已知如图所示，抛物线的焦点为，在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，到抛物线准线的距离等于5。过作垂直于y轴，垂足为，的中点为
5、。（1）求抛物线方程；（2）过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标。思路解析：由抛物线定义求p求直线，MN的方程解方程组得N点坐标。解答：（1）抛物线的准线为于是4+=5，=2抛物线方程为y2=4x（）点的坐标是（，），由题意得B(0,4),M(0,2),又F(1,0),.MNFA,.则FA的方程为,MN的方程为y-2=x,解方程组,得.(三)直线与抛物线的位置关系相关链接1.直线与抛物线的位置关系设抛线方程为,直线Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程my2+ny+q=0,(1)若m0,当0时,直线与抛物线有两个公共点;当=0时,直线与抛物线只有一个公共点;当
6、0时,直线与抛物线没有公共点.(2)若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行.2.焦点弦问题已知AB是过抛物线的焦点的弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则(1) y1y2=-p2,=;（2）（3）；（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。例题解析例已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。解析：设与抛物线交于由距离公式|AB|=由从而由于p0，解得（四）抛物线的实际应用例如图，是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称M到L1、L2的距离
7、分别是2 km、4km，N到L1、L2的距离分别是3 km、9 kin （1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN的方程； （）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0的距离大于5km而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于km求 此厂离点0的最近距离（注：工厂视为一个点） 解析：（1）分别以、为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M（2，4），N（3，9）设MN所在抛物线的方程为，则有，解得所求方程为（23）5分 （说明：若建系后直接射抛物线方程为，代入一个点坐标求对方程，本问扣2分） （2）设抛物线弧上任意一点P（，）（23）厂址为点A（0，）（5t8
8、，由题意得07分令，23，49对于任意的，不等式0恒成立（*）8分设，8.要使（*）恒成立，需0，即010分解得，的最小值为所以，该厂距离点O的最近距离为6.25km12分注：对实际应用问题，首先应审清题意，找出各量之间的关系，建立数学模型，然后用数学的方法解答，并回到实际问题中验证其正确性。【高考零距离】1. （2012山东高考文科11）已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 (A) (B) (C)(D)【解题指南】 本题关键利用离心率求出渐近线方程，而抛物线焦点到两条渐近线的距离相等，再利用点到直线的距离公式求出p.【解析】选D因为双曲线：的离
9、心率为2，所以，所以c=2a，所以，双曲线的渐近线为，即抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为：，所以p=8, 所以抛物线的方程为.2. （2012新课标全国高考文科20）设抛物线C：x2=2py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。（I）若BFD=90,ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。【解题指南】（1）由BFD=90及抛物线的对称性可推知为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质表示出的面积，建立等式关系求得p的值，然后由
10、圆心和半径写出圆的方程；（2）由“A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行”这一条件求出直线的斜率，设出直线n的方程，与抛物线方程联立，利用两者只有一个公共点（），可求得直线的方程（方程中含有p），然后求距离公式求出坐标原点到m，n距离的比值。 【解析】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 点到准线的距离 所以， 圆的方程为(2)因为A、B、F三点在同一直线上，所以AB为圆F的直径，.由抛物线定义知 ， 所以，的斜率为或. 当的斜率为时，由已知可设，代入得 由于n与C只有一个公共点，故.解得.因为m的截距，所以坐标原点到距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到，距离的比值
11、为3.3.（2012天津高考文科11）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为，则【解题指南】根据双曲线的几何性质列式求解。【解析】由题意可得，解得答案：1 24. （2012陕西高考数学文科14）与（2012陕西高考理科13相同右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米。【解题指南】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，根据方程求解.【解析】建立适当的坐标系，如图所示，设抛物线方程为（），则点（2，）在此抛物线上 代入可求出抛物线的方程是，当时，所以，水面宽是.答案：5（2011广东高考文科8）设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y =
12、0相切，则C的圆心轨迹为A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆【思路点拨】先求圆x2+（y-3）2=1的圆心坐标为（0，3），利用动圆圆心到点（0，3）与直线y=-1的距离相等得结论.【精讲精析】选A.由题意，C的圆心到点（0，3）与直线y=-1的距离相等，由抛物线的定义知C的圆心轨迹为抛物线，故选A.6（2011福建卷理科17）(本小题满分13分)已知直线：y=x+m，mR.（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由.【思路点拨】（1）由题意画出图形，结合图形求出圆的半
13、径，然后写出圆的标准方程；（2）由的方程求得的方程，将的方程与抛物线C的方程联立，得一元二次方程，然后依据对应判别式的正负，来判定两者能否相切.【精讲精析】解法1：（I）依题意，点的坐标为.因为所以解得，即点坐标为.从而圆的半径故所求圆的方程为.()因为直线的方程为，所以直线的方程为.由得.当，即时，直线与抛物线C相切；当，即时，直线与抛物线C不相切.综上，当时，直线与抛物线相切；当时，直线与抛物线C不相切.解法2：（I）设所求圆的半径为，则圆的方程可设为.依题意，所求圆与直线相切于点，则解得所以所求圆的方程为.（II）同解法1.7（2011山东高考文科15）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双
14、曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .【思路点拨】先求椭圆焦点，即双曲线的焦点，再由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出b，然后写出双曲线的方程.【精讲精析】由题意知双曲线的焦点为（-，0）、（，0），即c=，又因为双曲线的离心率为，所以a=2,故b2=3，所以双曲线的方程为【考点提升训练】一、选择题（每小题6分，共36分）1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )（A）， （B）2，2（C）1，1 （D）4，42.抛物线y2=4x的焦点是F，准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有( )(A)0个 (B)1个 (C)2个
