1 11 4 2013算子理论1 BUPT 算子理论算子理论算子理论算子理论 北京邮电大学 袁超伟 11 4 2013算子理论2 BUPT 基本概念基本概念 数学科学数学科学 数学科学是集严密性 逻辑性 精确性 创造力和想象力于一身的一门学问 是模型的科学 数学探讨的是追求简单性 力求从各模 型提炼出本质 11 4 2013算子理论3 BUPT 基本概念基本概念 数学科学数学科学 数学科学中的研究工作有2个目标 充实和扩展这个学科的核心领域 解决问题成为发现数学对之有用的日益增多 的科学技术领域创造各种提出和解决问题的 技巧与方法 数学研究包罗了从基础性研究到由应用 所驱动的寻找特定问题的科学等形形色 色的研究 11 4 2013算子理论4 BUPT 算子理论算子理论 算子 人们试图用统一的方法去处理经 典分析中各领域分散研究的一些问题 比如 变分法 积分方程 正交函数 系 逼近论等 算子理论用抽象的形式和统一的方法对 一些表面上看起来很不相同的对象进行 加工 不仅使经典的分析中的概念更加 一般化 而且能够富有成效地解决问题 2 11 4 2013算子理论5 BUPT 基础知识基础知识 线性空间 定义 设V是一个非空集合 R为实数域 若对于任 意2个元素 V 总有唯一元素 V与 之对应 称为 与 的和 记作 又对于任意 R与任意元素 V 总有唯 一的一个元素 V与之对应 称为 与 的 积 记作 且这2种运算满足以下8条 规律 11 4 2013算子理论6 BUPT 基础知识基础知识 线性空间 在V中存在零元素0 对任意 V都有 0 对任意 V都有 的负元素 V 使 0 1 那么 V就是称为 实数域R上的 向量空间 或线性 空间 11 4 2013算子理论7 BUPT 基础知识基础知识 线性空间 线性空间的表示 非空集合S 数域P S P T X Y f1 f2 X 1 2 P T 1f1 2f2 T 1f1 T 2f2 1T f1 2T f2 可加性 11 4 2013算子理论8 BUPT 算子定义算子定义 空间 空间的映射 称为算子 设X Y是两个线性空间 D是X中的子 集 若对每一个 x D Y中有唯一确定 的元素 y 与之对应 记作 y Tx 则称 T 是 D 到 Y 内的算子 其中 D 称为算子 T 的定义域D T T D Y 称为算子 T 的值域R T 3 11 4 2013算子理论9 BUPT 算子定义算子定义 函数与泛函 泛函与算子 函数与算子 函数 数集 数集 泛函 空间 数集 算子 空间 空间 11 4 2013算子理论10 BUPT 算子理论的任务算子理论的任务 通过学习算子理论 掌握一种数学方 法 用于解决自己在专业研究中遇到的 问题 怎样应用 问题描述 确定空间 建立数学模型 求解 存在性 唯一性 连续性 11 4 2013算子理论11 BUPT 基础知识基础知识 算子理论具有高度的综合性和统一性 它除 了使得经典分析和概念和方法更加系统外 又能使问题的认识得到深化和拓广 从而能 应用于更广泛的对象 它能揭示数学和物理 中许多问题的共同属性和相互关系 掌握了 这一项有助于人们从更普遍的角度 更深刻 地 所研究的对象 启发人们更好地理解问题 的实质 从而更好地开辟解决问题的途径 11 4 2013算子理论12 BUPT 基础知识基础知识 Rieman积分 在区间 a b 上 a x0 x1 xn b xk 1 k xk max xk xk 1 沿直线 Stielties积分 Lebeque积分 设 b a n i iii xdxfxxf 1 0 1 沿曲线 dyyycbaxdxfc n 10 kkkkk yyyy 11 max 11 4 2013算子理论15 BUPT 基础知识基础知识 Lebeque可积函数不一定几乎处处连续 11 4 2013算子理论16 BUPT 基础知识基础知识 5 11 4 2013算子理论17 BUPT 基础知识基础知识 11 4 2013算子理论18 BUPT 基础知识基础知识 高数的理论建立在极限基础上 数学分析的主要结果是在极限理论基础上获得 的 极限概念只用到数与数之间的距离 因此 距离是更为基础的一个概念 对于x y R 距 离是表达实 数 直线上点x与点y之间远近的 一个数 用数学方法求解物理系统的状态时 往往只能得到近似解 希望近似解能任意逼近 准确解 为此需要在系统的状态之间给出一种 度量 以便确切地规定出 任意逼近 的概念 11 4 2013算子理论19 BUPT 数域 数域 number fieldnumber field 设P是某些复数所成之集合 其中包括0 与1 如果对四则运算封闭 即P中任意 两数 可以相同 的和 差 积 商 除数不为零 仍是P中的数 则称P为 数域 11 4 2013算子理论20 BUPT 概念概念 距离 distance function 度量空间 metric space 拓扑 Topology 拓扑空间 Topological space 柯西序列 Cauchy sequence 6 11 4 2013算子理论21 BUPT 概念概念 紧性 compactness 列紧性 Sequentically compactness 相对列紧 relative sequentically compactness 列紧空间 Sequentically compact space 紧空间 compact space 11 4 2013算子理论22 BUPT 概念概念 范数 norm 强收敛 strong convergence 完备性 completeness 巴拿赫空间 Banach 11 4 2013算子理论23 BUPT 概念概念 代数 algebra 可交换 commutative 单位元 Unit 子代数 subalgebra 赋泛代数 normed algebra 巴拿赫代数 Banach algebra 11 4 2013算子理论24 BUPT 概念概念 泛函 functional 有界线性泛函 连续性泛函 continuous linear functional 共轭空间 conjugate space 共轭算子 conjugate operator 伴随算子 adjoint operator 7 11 4 2013算子理论25 BUPT 概念概念 同态 homomorphism 自同态 self homomorphism 同胚 homeomorphism 线性同胚 linear homeomorphism 11 4 2013算子理论26 BUPT 概念概念 半范数 semi norm 酉空间 Unitary Space 凸集 Convex Set 导出凸集 derived convex set 11 4 2013算子理论27 BUPT 概念概念 豪斯多夫空间 Hausderff Space 有界线性算子 bounded linear operator 等距算子 压缩算子 contraction operator 线性算子空间 space of bounded linear operator 11 4 2013算子理论28 BUPT 概念概念 依范数收敛 强收敛 strong convergence 积分算子 Integral operator 8 11 4 2013算子理论29 BUPT 概念概念 稠密子集 dense subset 基本集 fundamental set 延拓 11 4 2013算子理论30 BUPT 概念概念 开映射定理 open mapping theorem 巴拿赫逆算子定理 Banach inverse operator theorem 图像 graph 闭算子 closed operator 闭算子的判定方法 11 4 2013算子理论31 BUPT 概念概念 闭图像定理 closed graph theorem 一致有界原理 Uniform boundedness principle 共鸣定理 resonance theorem 11 4 2013算子理论32 BUPT 概念概念 魏尔斯特拉斯定理 Weierstrass 内积 Inner product 内积空间 Inner product space Hilbert空间 对偶空间 dual space 9 11 4 2013算子理论33 BUPT 概念概念 弱收敛 weakly converge 弱 收敛 weakly converge n次共轭空间 序列弱列紧 Sequential weak compact 序列弱 列紧 Sequential weak compact 11 4 2013算子理论34 BUPT 概念概念 可分度量空间 Seperable metric space 共轭算子 conjugate operator 共轭算子的性质 伴随算子 adjoint operator 伴随算子的性质 11 4 2013算子理论35 BUPT 概念概念 酉算子 Unitary operator 正规算子 normal operator 自伴算子 self adjoint operator 对称算子 symmetric operator 正算子 positive operator 一些典型的正线性算子 11 4 2013算子理论36 BUPT 距离距离 是一种空间结构 称为距离结构 用数学方法求解物理系统的状态时 往往 只能得到近似解 为此需要在系统的状态 之间给出一种度量 以便确切地规定出 任意逼近 的概念 10 11 4 2013算子理论37 BUPT 距离距离 11 4 2013算子理论38 BUPT 距离距离 11 4 2013算子理论39 BUPT 距离距离 11 4 2013算子理论40 BUPT 线性运算 线性运算 linear operationlinear operation 加法 addition 数乘法 scalar multiplication 加法和数乘法一起统称为集合S在数域P上的 线性运算 11 11 4 2013算子理论41 BUPT 线性空间 线性空间 linear spacelinear space 如果规定非空的集合S在数域P上的线性 运算加 与乘 则S P 与 在一起称为一个线性空间 有时记作 S P 11 4 2013算子理论42 BUPT 线性算子线性算子 设X Y是两个线性空间 定义在X中某 个集合 上 取值于Y的映射T称为算子 operator 可加的 齐次的算子称为线性算子 linear operator 11 4 2013算子理论43 BUPT 迭代算子迭代算子 提供了可用于不同数据类型的循环控制 结构框架 迭代算子是一个模块 允许 用户以方便有效的方式在任意数据类型 上进行迭代计算 11 4 2013算子理论44 BUPT 符号说明符号说明 12 11 4 2013算子理论45 BUPT 度量空间 度量空间 metric spacemetric space 11 4 2013算子理论46 BUPT 拓扑 拓扑 TopologyTopology 11 4 2013算子理论47 BUPT 拓扑空间 拓扑空间 Topological spaceTopological space 11 4 2013算子理论48 BUPT 柯西序列 柯西序列 Cauchy sequenceCauchy sequence 13 11 4 2013算子理论49 BUPT 紧性 紧性 compactnesscompactness 11 4 2013算子理论50 BUPT 列紧性 列紧性 SequenticallySequentically compactnesscompactness 11 4 2013算子理论51 BUPT 相对列紧 相对列紧 relative relative sequenticall。