机械动力学基础教程 讲义 韩清凯韩清凯 大连理工大学机械工程学院大连理工大学机械工程学院 2012 12 23 摘要摘要 前言前言 机械动力学是一门研究机械在力作用下的运动及与运动中产生力的关系的科学 机械动力学涵盖了动力学建模 动力学分析 动力学设计和振动控制等一般理论方法 同时在国家现代化建设中的不同领域有着广泛应用 如转子动力学 齿轮传动系统动力学 弹性机构动力学 车辆动力学 微机电系统动力学和机械故障诊断等 本课程是机械工程各专业本科生和研究生必备的重要课程 本课程可为相关专业的研究生和科研人员开展相关动力学的科研工作奠定了基础 目录目录 1 质点运动学与动力学 2 刚体运动学与动力学 3 机械振动 4 连续体振动 5 多体系统动力学 6 板壳结构动力学 7 转子动力学 参考教材 1 Dynamics Hibber 2 Dynamics of Machinery Dresig 3 机械动力学 张策 4 机械动力学 邵忍平 5 韩清凯 罗忠 机械系统多体动力学分析 控制与仿真 北京 科学出版社 2010 6 韩清凯 于涛 孙伟 机械振动系统的现代动态设计与分析 北京 科学出版社 2010 7 闻邦椿 韩清凯 姚红良 产品的结构性能及动态优化设计 北京 机械工业出版社 2008 8 闻邦椿 李以农 徐培民 韩清凯 工程非线性振动 北京 科学出版社 2007 9 韩清凯 孙伟 弹性力学及有限元法基础教程 沈阳 东北大学出版社 2009 第第 1 章章 质点运动学与动力学质点运动学与动力学 介绍质点的坐标 位移 速度 以及加速度概念 研究质点沿直线和曲线运 动时的运动规律 掌握动能定理并且利用它解决力 速度 位移问题 了解保守力概念 学会用此思想解 决动力学问题 1 1 质点运动学质点运动学 Kinematics of Particles 1 1 1 直线运动 直线运动 在直线运动 Continuous Motion 中 质点的运动规律是通过任一时刻质点的位置 速度 以及加速度来刻画的 下面对以上要素的概念进行介绍 位置位置 Position 我们可以通过单轴坐标系上的 s 来定义位置这个概念 如图 1 1 所示 原点 O 是轴上的 固定点 通过这个点 我们就能用 s 去定位任意时刻质点的位置 s 的大小即为质点到原点 O 的距离 而位置的方向性可以通过 s 的代数符号来表示 图中所示的情况下 因为原点的 右侧为坐标轴的正方向 而质点在坐标轴的右侧 所以对应的位置 s 为正值 因此 我们可 以认为 位置是一种既有方向又有大小的矢量 图 1 1 质点位置图 位移位移 Displacement 位移定义为质点位置的改变量 如图 1 2 所示 当质点从一点移动到另一点时 它的位 移可以表述为 sss 1 1 图 1 2 质点位移图 这种情况下 由于质点的终点位置在起始位置的右侧 因此s 的大小为正值 同样 如果终点位置在起始位置的左侧 则得到的s 就为负值 由此 说明了位移也是一个有大 小和方向的矢量 这点 要和质点移动的距离区分开 因为质点移动的距离是对质点在直线 上所移动的长度的一种数量度量 速度速度 Velocity 如果质点在时间间隔t 移动的距离为s 那么质点在这段时间间隔内的平均速度表达 式为 avg s t 1 2 当我们把t 的值变的无穷小时 s 也会变的非常小 t 无穷小时就近视为 一个瞬时点 由此 可得出瞬时速度v的表达式 0 lim t s v t 1 3 或者 ds v dt 1 4 因为t 和dt始终为正值 所以速度的正负是由s 或者ds决定 而速度的大小则由我 们所熟悉的速率来表示 加速度加速度 Acceleration 如果质点在任意两点处的速度已知 那么在间隔t 内质点的平均加速度可以定义为 avg v a t 1 5 式中v 表示为在间隔t 内速度的变化量 也即 vvv 如图 1 3 所示 图 1 3 质点加速度图 和瞬时速度推导公式相仿 任一 t 时刻的瞬时加速度表达式也可由令t 的值趋于无穷 小 相应的v 值趋于无穷小得到 0 lim t v a t 1 6 或者 dv a dt 1 7 又由公式 1 4 瞬时速度的表达式 公式错误 未找到引用源 错误 未找到引用源 可以进一步写成 如下形式 2 2 d s a dt 1 8 通过消去以上公式中的时间变量dt 我们可以得到位移 速度以及加速度这些变量之 间的关系 具体形式如下 adsvdv 1 9 对加速度 速度 进行积分得到速度 位移 注意初始值 1 1 2 曲线运动曲线运动 当一质点沿着曲线路径运动所产生的轨迹称为质点的曲线运动 Curvilinear Motion 采 用三维直角坐标系可以建立质点曲线运动的位置 速度以及加速度 质点的位置质点的位置 Position 建立如图 4 所示的直角坐标系 质点的位置r为 xyzr i j k 1 10 图 4 质点的位置 质点与坐标原点的距离为 222 rxyz 1 11 质点的速度质点的速度 Velocity 对质点的位置r求导得到质点的速度v 质点的速度如图 5 所示 dddd xyz dtdtdtdt r vijk 1 12 图 5 质点的速度 将式 1 12 中第一项 d x dt i单独求导得到 ddxd xx dtdtdt i ii 1 13 由于三维坐标系 xyz 固定 则式 1 13 中 d dt i 为 0 因此式 1 12 式可以化简为 xyz d vvv dt r vijk 1 14 其中 xyz vxvyvz 1 15 速度的大小为 222 xyz vvvv 1 16 质点的加速度质点的加速度 Acceleration 对式 2 4 进行求导得到质点的加速度 如图 6 所示 xyz d aaa dt v aijk 1 17 加速度的大小为 222 xyz aaaa 1 18 图 6 质点的加速度 1 2 质点动力学 质点动力学 Kinetics of Particles 力和加速度 Force and Acceleration 质点的动力学 描述质点的运动和力之间变化的关系 牛顿第二定律是质点动力学的基 础 m Fa 1 19 其中 F为作用力之和 m为质点的质量 a为质点所产的加速度 质点的受力图和加速度图如图 7 所示 采用平行四边形法则 12R FFFF 图 7 质点的力和加速度 惯性坐标系是指满足牛顿定律的坐标系 物体只有在不受外力或合外力为 0 的情况下才 永远保持匀速直线运动或者静止状态 也就是说物体产生加速度必须有力的作用 质点在惯 性参考坐标系中的运动表述如图 8 所示 图 8 惯性坐标系 1 3 力做的功力做的功 本节内容中 我们将会利用功和能的思想去分析质点的运动问题 因为对涉及到力 速 度 位移问题 这种思想显的尤为方便 不过在此之前 我们首先需要对力做功做一个强调 并不是所有情况 质点所受的力都会做功 只有质点在所受的外力的方向存在位移时 质点 所受的力才可能做功 The Work of a Force 如右图 2 1 所示的情况 质点在起始位置受到一个竖直向上的力 F 该力使质点的位置 由 r 移动到 r 那么质点的位移可以写成d r rr 进而 我们得到力 F 所做的功 dUd Fr 图 2 1 质点受力图 如果在外力 F 的作用下 质点沿其运动方向由 1 r 移动到 2 r 或者 1 s 到 2 s 如图 2 2 所示 那么力 F 所做的功可以表述为如下积分 22 11 s 1 2 s UdFcos ds r r Fr 2 1 图 2 2 变力做功 图 2 3 重力做功 示例示例 1 重力做功 重力做功 如图 2 3 所示 物体受到重力 W 的作用 沿着其运动轨道 s 由位置 1 s移动到 2 s 在某 个中间点 位移可表示为ddxdydz r i jk 同时 W Wj 联立式 2 1 我们可 以得到 2 1 2 1 1 2 21 y y Ud Wdxdydz W dy W yy r r Fr ji jk 或者 1 2y UW 2 2 由此 我们可以看出 重力所做的功和走过的路径无关 它等于重力的大小和竖直方向 位移的乘积 图 2 3 所示的情况中 因为重力方向向下 而质点的位移方向向上 所以重力 所做的功为负值 那如果质点的位移方向朝下 为什么重力所做的功就变为正值 希望大家 思考下 示例示例 2 弹簧力做功 弹簧力做功 如果一个弹簧长度被拉长ds 如图 2 4 那么作用在拉长点上的力所做的功为 s dUF dsksds 由于施加的拉伸力的方向和ds的方向相反 所以做的为负功 假 若质点位置由 1 s 移动到 2 s 那么力 s F 做的功为 22 1 221 11 22 Uksks 2 3 若从几何上表示 1 2 U 即为图 2 5 中直线 s Fks 下阴影区域 图 2 4 弹簧力做功 图 2 5 功的几何表示 当使用公式 2 3 时 我们可以通过一个简单的判断来避免出错 注意作用在质点上的弹 簧力的方向 把它和质点的位移方向做比较 如果两者同向 弹簧力做的功就为正值 如果 两者反向 那么力做的功就为负值 1 4 动能动能 Kinetic Energy 一质点受力如图 2 6 所示 以该点为原点 按其运动路径建立惯性坐标系 取质点质量 为 m 其所受外部合力 R FF 则质点在切线方向的运动方程为 t t Fma 由第一 讲中公式 1 9 可得 t a dsvdv 对此公式两边取积分 假定质点起始位置为 1 ss 起始 速度为 1 vv 终点位置为 2 ss 终点速度为 2 vv 可得 2222 1111 22 21 11 22 sssv tt sssv vdv F dsma dsmdsmvdvmvmv ds 2 4 图 2 6 质点惯性系 质点动能公式 2 1 2 Tmv 2 5 式中 T 质点所具有的动能 单位为 J m 质点的质量 单位为 kg v 质点瞬时速度 单位为 m s 功和动能的相同之处在于它们都是标量 单位都为 J 不同点在于 功有正功和负功之 分 而如果不去考虑质点运动的方向 动能始终都为正值 原理 当质点从起始位置移动到末位置时 质点在起始位置的动能加上作用在质点上的 合力做的功的和等于质点的末动能 11 22 TUT 2 6 式中 1 T 起始动能 单位为 J 1 2 U 作用在质点上的力所做的功 单位为 J 2 T 末动能 单位为 J 考虑到该公式的出处 我们可以认为功能原理其实就是对公式 t t Fma 两边取积 分 再把公式 t avdv ds 代入即可 对于 t t Fma 问题 功能原理提供了一种很方便 的解决方法 因为公式 2 6 中包含了对质点进行运动分析的各个变量 而当涉及到多质点系 统时 由于功和能都为标量 可以直接把功和能进行代数相加得到质点系统的动能公式 11 22 TUT 2 7 示例 滑动摩擦力做功示例 滑动摩擦力做功 图 2 7 滑动摩擦力做功 图 2 8 物体受力分析 当使用公式 2 7 时 有摩擦力做功的情况需要大家小心 如图 2 7 所示 质量块在表面 粗糙的表面上移动了一段距离 s 如果施加的拉力 P 的大小刚好和摩擦合力 kN 相等 物 体将会匀速运动 公式 2 7 可写为如下形式 22 11 22 k mvPsNsmv 2 8 式中 k 摩擦面摩擦系数 N 表面对物体竖直方向的反作用力 按我们之前所学知识 上式中应有 k PN 但是事实中 但凡有摩擦就必然存在热 能损耗 而动能公式中 却没有把这种能考虑在内 为了更好的解释这种矛盾以使动能公式 和实际摩擦情况更好的吻合 我们可以把物体摩擦表面看着一个不规则的柔性面 在物体受 力运动时 接触表面时刻存在着破损 振动和局部变形 各个方向的摩擦力也在时刻发生着 小幅度变化 但摩擦合力仍为 kN 不过由于局部变形的存在 使得 kN 的位移 s 和施加 的拉力 P 的位移 s 并不相等 s 的值要小于 s 因此摩擦合。