《专题28数列求和(教学案)(解析版) .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题28数列求和(教学案)(解析版) .pdf（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师整理 助你成功 1 熟练掌握等差 等比数列的前n 项和公式 2 掌握非等差数列 非等比数列求和的几种常见方法 1 求数列的前n 项和的方法 1 公式法 等差数列的前n 项和公式 Sn n a1 a n 2 na1 n n 1 2 d 等比数列的前n 项和公式 当 q 1 时 Sn na1 当 q 1时 Sn a1 1 qn 1 q a1 anq 1 q 2 分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项 使其转化为几个等差 等比数列 再求解 3 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和 正负相消剩下首尾若干项 4 倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加 即等差数列求和公式的推导过程的推广 5
2、 错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 即等比数列求和公式的推导过 程的推广 6 并项求和法 一个数列的前n 项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如 Sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5 050 2 常见的裂项公式 1 1 n n 1 1 n 1 n 1 名师整理 助你成功 2 1 2n 1 2n 1 1 2 1 2n 1 1 2n 1 3 1 n n 1 n 1 n 高频考点一分组转化法求和 例 1 已知 an 是等比数列 前 n 项和为 Sn n
3、 N 且 1 a1 1 a2 2 a3 S 6 63 1 求 an 的通项公式 2 若对任意的n N bn是 log2an和 log2an 1的等差中项 求数列 1 nb2 n 的前 2n 项和 解 1 设数列 an 的公比为q 由已知 有 1 a1 1 a1q 2 a1q2 解得 q 2 或 q 1 又由 S6 a1 1 q6 1 q 63 知 q 1 所以 a1 1 26 1 2 63 得 a1 1 所以 an 2n 1 2 由题意 得bn 1 2 log2an log2an 1 1 2 log22 n 1 log 22n n 1 2 即 bn 是首项为 1 2 公差为 1 的等差数列 设
4、数列 1 nb2 n 的前 n 项和为 Tn 则 T2n b 2 1 b 2 2 b23 b 2 4 b22n 1 b 2 2n b1 b2 b3 b4 b2n 1 b2n 2n b1 b2n 2 2n2 方法规律 1 若数列 cn 的通项公式为 cn a n bn 且 an bn 为等差或等比数列 可采用分组求和 法求数列 cn 的前 n 项和 2 若数列 cn 的通项公式为cn an n为奇数 bn n为偶数 其中数列 an bn 是等比数列或等差数列 可采用分 组求和法求 an 的前 n 项和 变式探究 1 数列 1 1 2 3 1 4 5 1 8 7 1 16 2n 1 1 2n 的前
5、 n 项和 Sn的值等于 名师整理 助你成功 A n2 1 1 2n B 2n2 n 1 1 2n C n2 1 1 2n 1 D n2 n 1 1 2n 2 数列 an 的通项公式an ncos n 2 其前 n 项和为 Sn 则 S2 016等于 A 1 008 B 2 016 C 504 D 0 解析 1 该数列的通项公式为an 2n 1 1 2n 则 Sn 1 3 5 2n 1 1 2 1 22 1 2 n n2 1 1 2n 2 a1 cos 2 0 a2 2 cos 2 a3 0 a4 4 所以数列 an 的所有奇数项为 0 前 2 016 项的所有偶数项 共 1 008 项 依次
6、为 2 4 6 8 2 014 2 016 故 S2 016 0 2 4 6 8 2 014 2 016 1 008 答案 1 A 2 A 高频考点二裂项相消法求和 例 2 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 公差为d 若 d S9为函数 f x x 2 x 99 的两个零点且 d S9 1 求数列 an 的通项公式 2 若 bn 1 an 1 an n N 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 解 1 因为 d S9为函数 f x x 2 x 99 的两个零点且d S9 所以 d 2 S9 99 又因为 Sn na1 n n 1 2 d 所以 9a1 9 8 2 2 99 解得 a1
7、3 an 是首项为3 公差为 2 的等差数列 所以 an a1 n 1 d 2n 1 2 bn 1 an 1 an 1 2n 3 2n 1 1 2 2n 3 2n 1 Tn 1 2 5 3 1 2 7 5 1 2 2n 1 2n 1 1 2 2n 3 2n 1 2n 3 3 2 举一反三 2017 全国卷 设数列 an 满足 a1 3a2 2n 1 an 2n 1 求 an 的通项公式 名师整理 助你成功 2 求数列 an 2n 1 的前 n 项和 解 1 因为 a1 3a2 2n 1 an 2n 故当 n 2 时 a1 3a2 2n 3 an 1 2 n 1 两式相减得 2n 1 an 2
8、所以 an 2 2n 1 n 2 又由题设可得a1 2 满足上式 所以 an 的通项公式为 an 2 2n 1 n N 2 记 an 2n 1 的前 n 项和为 Sn 由 1 知 an 2n 1 2 2n 1 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 则Sn 1 1 1 3 1 3 1 5 1 2n 1 1 2n 1 2n 2n 1 变式探究 正项数列 an 的前 n 项和 Sn满足 S 2 n n2 n 1 Sn n2 n 0 1 求数列 an 的通项公式an 2 令 bn n 1 n 2 2a2 n 数列 bn 的前 n 项和为 Tn 证明 对于任意的 n N 都有 Tn0 Sn n2 n 于
9、是 a1 S1 2 当 n 2 时 an Sn Sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 当 n 1 时 a1 2 2 1 符合上式 综上 数列 an 的通项公式为 an 2n 2 证明 由于an 2n 故 bn n 1 n 2 2a2 n n 1 4n2n 2 2 1 16 1 n2 1 n 2 2 Tn 1 16 1 1 3 2 1 2 2 1 4 2 1 3 2 1 5 2 1 n 1 2 1 n 1 2 1 n 2 1 n 2 2 1 16 1 1 2 2 1 n 1 2 1 n 2 2 0 由以上两式联立方程组解得a1 2 q 2 所以 an 2n 2 由题意知S2n 1 2n
10、1 b1 b2n 1 2 2n 1 bn 1 又 S 2n 1 b nbn 1 b n 1 0 所以 bn 2n 1 令 c n bn an 则 cn 2n 1 2n 因此 Tn c1 c2 cn 3 2 5 22 7 23 2n 1 2n 1 2n 1 2n 又 1 2Tn 3 22 5 23 7 24 2n 1 2n 2n 1 2n 1 两式相减得 1 2Tn 3 2 1 2 1 22 1 2n 1 2n 1 2n 1 所以 Tn 5 2n 5 2n 特别提醒 用错位相减法求和应注意的问题 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形 2 在写出 Sn 与 qSn 的表达式时应特
11、别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 Sn qSn 的表达 式 名师整理 助你成功 3 在应用错位相减法求和时 若等比数列的公比为参数 应分公比等于1 和不等于1 两种情况求解 变式探究 已知等差数列 an 的前 n项和为Sn 若Sm 1 4 Sm 0 Sm 2 14 m 2 且m N 1 求 m 的值 2 若数列 bn 满足 an 2 log2bn n N 求数列 an 6 bn 的前 n 项和 解 1 由已知得am Sm Sm 1 4 且 a m 1 a m 2 S m 2 S m 14 设数列 an 的公差为 d 则有 2am 3d 14 d 2 由 S m 0 得 ma1 m m
12、 1 2 2 0 即 a1 1 m a m a 1 m 1 2 m 1 4 m 5 2 由 1 知 a1 4 d 2 an 2n 6 n 3 log2bn 得 bn 2n 3 an 6 bn 2n 2n 3 n 2n 2 设数列 an 6 bn 的前 n 项和为 Tn Tn 1 2 1 2 20 n 1 2n 3 n 2n 2 2Tn 1 20 2 21 n 1 2n 2 n 2n 1 得 Tn 2 1 20 2n 2 n 2n 1 2 1 1 2n 1 2 n 2n 1 2 n 1 1 2 n 2 n 1 1 n 2n 1 1 2 Tn n 1 2n 1 1 2 n N 高频考点四求数列 a
13、n 的前 n 项和问题 例 4 在公差为d 的等差数列 an 中 已知 a1 10 且 a1 2a2 2 5a3成等比数列 1 求 d an 2 若 d 0 求 a1 a2 a3 an 解 1 由题意得5a3 a1 2a2 2 2 名师整理 助你成功 即 d 2 3d 4 0 故 d 1 或 4 所以 an n 11 n N 或an 4n 6 n N 2 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 因为 d6 时 a7 a8 an均为负数 故 Sn S66 1 2018 年天津卷 设 an 是等差数列 其前n 项和为 Sn n N bn 是等比数列 公比大于 0 其前 n 项和为 Tn n N 已知
14、 b1 1 b3 b2 2 b4 a3 a5 b 5 a4 2a6 求 Sn和 Tn 若 Sn T1 T2 Tn an 4bn 求正整数 n 的值 答案 4 解析 I 设等比数列的公比为q 由 b1 1 b3 b2 2 可得 因为 可得 故 所以 设等差数列的公差为 由 可得 由 可得从而 故 所以 II 由 I 有 由可得 整理得解得 舍 或 所以 n 的值为 4 2 2018 年北京卷 设是等差数列 且 求的通项公式 求 答案 I II 解析 I 设等差数列的公差为 又 名师整理 助你成功 II 由 I 知 是以 2 为首项 2 为公比的等比数列 3 2018 年江苏卷 设是首项为 公差为
15、 d 的等差数列 是首项为 公比为 q 的等比 数列 1 设 若对均成立 求d 的取值范围 2 若 证明 存在 使得对均成立 并求的取值范围 用表示 答案 1 d的取值范围为 2 d 的取值范围为 证明见解析 解析 1 由条件知 因为对 n 1 2 3 4 均成立 即对 n 1 2 3 4 均成立 即 1 1 1d3 32d5 73d9 得 因此 d 的取值范围为 2 由条件知 若存在 d 使得 n 2 3 m 1 成立 即 即当时 d 满足 因为 则 从而 对均成立 因此 取d 0 时 对均成立 名师整理 助你成功 下面讨论数列的最大值和数列的最小值 当时 当时 有 从而 因此 当时 数列单
16、调递增 故数列的最大值为 设 当 x 0 时 所以单调递减 从而 f 0 1 当时 因此 当时 数列单调递减 故数列的最小值为 因此 d 的取值范围为 4 2018 年全国卷 记为等差数列的前项和 已知 1 求的通项公式 2 求 并求的最小值 答案 1 an 2n 9 2 16 解析 1 设 an 的公差为 d 由题意得3a1 3d 15 由 a1 7 得 d 2 所以 an 的通项公式为 an 2n 9 2 由 1 得 Sn n2 8n n 4 2 16 所以当 n 4 时 Sn取得最小值 最小值为 16 5 2018 年全国 I 卷 已知数列满足 设 1 求 2 判断数列是否为等比数列 并说明理由 名师整理 助你成功 3 求的通项公式 答案 1 b1 1 b2 2 b3 4 2 bn 是首项为1 公比为2 的等比数列 理由见解析 3 an n 2n 1 解析 1 由条件可得an 1 将 n 1 代入得 a2 4a1 而 a1 1 所以 a2 4 将 n 2 代入得 a3 3a2 所以 a3 12 从而 b1 1 b2 2 b3 4 2 bn 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 由
