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1、专题 10 1 随机抽样 1 理解随机抽样的必要性和重要性 2 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本 了解分层抽样和系统抽样方法 3 会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题 知识点一简单随机抽样 1 定义 设一个总体含有N 个个体 从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本 n N 如果每次抽 取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等 就把这种抽样方法叫做简单随机抽样 2 最常用的简单随机抽样的方法 抽签法和随机数法 知识点二系统抽样 1 定义 当总体中的个体数目较多时 可将总体分成均衡的几个部分 然后按照事先定出的规则 从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本 这种抽样方法叫做系统抽样 2 系
2、统抽样的操作步骤 假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本 先将总体的N 个个体编号 确定分段间隔k 对编号进行分段 当 N n n 是样本容量 是整数时 取k N n 在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号l l k 按照一定的规则抽取样本 通常是将l 加上间隔k 得到第 2 个个体编号 l k 再加 k 得到第 3 个个体编号 l 2k 依次进行下去 直到获取整个样本 知识点三分层抽样 1 定义 在抽样时 将总体分成互不交叉的层 然后按照一定的比例 从各层独立地抽取一定数 量的个体 将各层取出的个体合在一起作为样本 这种抽样方法叫做分层抽样 2 应用范围 当总体是由差异明显的几
3、个部分组成时 往往选用分层抽样 知识必备 1 不论哪种抽样方法 总体中的每一个个体入样的概率都是相同的 2 系统抽样一般也称为等距抽样 入样个体的编号相差分段间隔k 的整数倍 3 分层抽样是按比例抽样 每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比 考点一简单随机抽样及其应用 典例 1 河北邯郸一中2019 届模拟 1 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为 从无限多个个体中抽取100 个个体作为样本 盒子里共有80 个零件 从中选出5个零件进行质量检验 在抽样操作时 从中任意拿出一个零件进行 质量检验后再把它放回盒子里 从 20 件玩具中一次性抽取3 件进行质量检验 某班有56 名同学 指定个
4、子最高的5 名同学参加学校组织的篮球赛 A 0 B 1 C 2 D 3 2 总体由编号为01 02 19 20 的 20 个个体组成 利用下面的随机数表选取5 个个体 选取方 法是从随机数表第1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字 则选出来的第5 个个体的 编号为 A 08 B 07 C 02 D 01 答案 1 A 2 D 解析 1 不是简单随机抽样 因为被抽取样本的总体的个数是无限的 而不是有限的 不是简 单随机抽样 因为它是有放回抽样 不是简单随机抽样 因为这是 一次性 抽取 而不是 逐个 抽取 不 是简单随机抽样 因为不是等可能抽样 故选 A 2 从第 1 行第
5、 5 列和第 6 列组成的数65 开始由左到右依次选出的数为08 02 14 07 01 所以第 5 个个体编号为01 方法技巧 1 简单随机抽样需满足 1 被抽取的样本总体的个体数有限 2 逐个抽取 3 是不放回抽取 4 是等 可能抽取 2 简单随机抽样常有抽签法 适用于总体中个体数较少的情况 随机数法 适用于个体数较多的情况 变式 1 吉林长春实验中学2019 届模拟 1 从 2 019 名学生中选取50 名学生参加全国数学竞赛 若采用以下方法选取 先用简单随机抽样法从 2 019 名学生中剔除19 名学生 剩下的 2 000 名学生再按系统抽样的方法抽取 则每名学生入选的概率 A 不全相
6、等B 均不相等 C 都相等 且为 50 2 019 D 都相等 且为 1 40 2 假设要考察某公司生产的500 克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标 现从 800 袋牛奶中抽取60 袋进 行检验 利用随机数表抽取样本时 将800 袋牛奶按000 001 799 进行编号 若从随机数表第7 行第 8 列的数开始向右读 则得到的第4 个样本个体的编号是 下面摘取了随机数表第7 行至 第 9 行 87 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 9
7、8 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 答案 1 C 2 068 解析 1 从 N 个个体中抽取M 个个体 则每个个体被抽到的概率都等于 M N 2 由随机数表知 前4 个样本的个体编号分别是331 572 455 068 考点二系统抽样及其应用 典例 2 湖南长沙雅礼中学2019 届质检 1 某学校采用系统抽样方法 从该校高一年级全体800 名学生中抽50 名学生做视力检查 现将 800 名学生从
8、1 到 800 进行编号 已知从 33 48 这 16 个数中抽到的数是39 则在第 1 小组 1 16 中随机抽 到的数是 A 5 B 7 C 11 D 13 2 在一次马拉松比赛中 35 名运动员的成绩 单位 分钟 的茎叶图如图所示 若将运动员按成绩由好到差编为1 35 号 再用系统抽样方法从中抽取7 人 则其中成绩在区间 139 151 上的运动员人数是 答案 1 B 2 4 解析 1 把 800 名学生分成50 组 每组 16 人 各小组抽到的数构成一个公差为16 的等差数列 39 在第 3 组 所以第 1 组抽到的数为39 32 7 2 依题意 可将编号为1 35 号的 35 个数据
9、分成7 组 每组有5 个数据 从每组中抽取一人 成绩在区间 139 151 上共有 20 个数据 分在4 个小组内 每组抽取1 人 共抽取4 人 方法技巧 1 如果总体容量N 能被样本容量n 整除 则抽样间隔为k N n 否则 可随机地从总体中剔除余数 然 后按系统抽样的方法抽样 特别注意 每个个体被抽到的机会均是 n N 2 系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列 首项就是第1 组所抽取样本的号码 公差 为间隔数 根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码 变式 2 山东上饶一中2019 届模拟 为规范学校办学 某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样 调查 抽到的班
10、级一共有52 名学生 现将该班学生随机编号 用系统抽样的方法抽取一个容量为4 的样本 已知 7 号 33 号 46 号同学在样本中 那么样本中还有一位同学的编号应是 A 13 B 19 C 20 D 51 答案 C 解析 由系统抽样的原理知 抽样的间隔为52 4 13 故抽取的样本的编号分别为7 7 13 7 13 2 7 13 3 即 7 号 20 号 33 号 46 号 样本中还有一位同学的编号为20 考点三分层抽样及其应用 典例 3 广西南宁三中2019 届质检 甲 乙两套设备生产的同类型产品共4 800 件 采用分层抽 样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行质量检测 若样本中有50
11、 件产品由甲设备生产 则乙设备生产 的产品总数为 件 答案 1 800 解析 由题设 抽样比为 80 4 800 1 60 设甲设备生产的产品为x 件 则 x 60 50 x 3 000 故乙设备生产的产品总数为4 800 3 000 1 800 方法技巧 1 分层抽样中分多少层 如何分层要视具体情况而定 总的原则是 层内样本的差异要小 两层之间的 样本差异要大 且互不重叠 2 进行分层抽样的相关计算时 常用到的两个关系 1 样本容量 n 总体的个数 N 该层抽取的个体数 该层的个体数 2 总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比 变式 3 广东广雅中学2019 届模拟 1 某
12、学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表 每名同学只参加一个小组 单位 人 篮球组书画组乐器组 高一4530a 高二151020 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查 按小组分层抽样的方法 从参加这三个兴趣小组 的学生中抽取30 人 结果篮球组被抽出12 人 则 a 的值为 2 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000 人 并根据所得数据画出了如图所示的频 率分布直方图 现要从这10 000 人中用分层抽样的方法抽取100 人作进一步调查 则月收入在 2 500 3 000 元 内应抽取 人 答案 1 30 2 25 解析 1 由分层抽样得 12 45 15 30 120 a 解得 a 30 2 由频率分布直方图可得在 2 500 3 000 收入段共有10 000 0 000 5 500 2 500 人 按分层抽样 应抽出 2 500 100 10 000 25 人
