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1、专题 2 8 函数与方程 1 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个 数 知识点一函数的零点 1 函数零点的概念 对于函数y f x 把使 f x 0 的实数 x 叫做函数 y f x 的零点 2 函数零点与方程根的关系 方程 f x 0 有实数根 函数 y f x 的图象与x 轴有交点 函数 y f x 有零点 3 零点存在性定理 如果函数y f x 满足 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 f a f b 0 的图象与零点的关系 b 2 4a c 0 0 0 的 图 象 与 x 轴 的 交 点 x1 0 x2 0 x1 0 无交点 零
2、 点 个 数 2 1 0 特别提醒 1 若连续不断的函数f x 在定义域上是单调函数 则f x 至多有一个零点 函数的零点不是一个 点 而 是方程 f x 0 的实根 2 由函数 y f x 图象是连续不断的 在闭区间 a b 上有零点不一定能推出f a f b 0 如图所示 所以 f a f b 0 是 y f x 在闭区间 a b 上有零点的充分不必要条件 考点一函数零点所在区间 典例 1 2019 河北正定中学模拟 若x0是方程 1 2 x x 的解 则 x0属于区间 A 2 3 1 B 1 2 2 3 C 1 3 1 2 D 0 1 3 答案 C 解析 令g x 1 2 x f x x
3、1 3 则 g 0 1 f 0 0 g 1 2 1 2 f 1 2 1 2 g 1 3 1 2 f 1 3 1 3 结合图象可得 1 3 x 0 1 2 方法技巧 确定函数f x 的零点所在区间的常用方法 1 利用函数零点的存在性定理 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图象是否连续 再看是否有f a f b 0 若有 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 2 数形结合法 通过画函数图象 观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断 变式 1 2019 山西忻州一中模拟 函数 f x ln x 2 x2的零点所在的区间为 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 答案 B
4、解析 易知f x ln x 2 x2在定义域 0 上是增函数 又 f 1 20 根据零点存在性定理 可知函数f x ln x 2 x2有唯一零点 且在区间 1 2 内 考点二判断函数零点个数 典例 2 2018 全国卷 函数 f x cos3x 6 在 0 的零点个数为 答案 3 解析 由题意可知 当3x 6 k 2 k Z 时 f x 0 x 0 3x 6 6 19 6 当 3x 6取值为 2 3 2 5 2 时 f x 0 即函数 f x cos 3x 6 在 0 的零点个数为3 方法技巧 1 直接求零点 令f x 0 有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 要求函数f x 在区间 a
5、b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 再结合函数 的图象与性质确定函数零点个数 3 利用图象交点个数 作出两函数图象 观察其交点个数即得零点个数 变式 2 2019 北京牛栏山一中模拟 已知函数f x 2 x x 2 x 2 2 x 2 函数 g x 3 f 2 x 则函数 y f x g x 的零点个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 A 解析 由已知条件可得g x 3 f 2 x x 2 1 x 0 3 x2 x 0 函数 y f x g x 的零点 个数即为函数y f x 与 y g x 图象的交点个数 在平面直角坐标系内作出函数y f x 与 y g x 的图象如图所示
6、 由图可知函数y f x 与 y g x 的图象有2 个交点 所以函数y f x g x 的零点个数为2 选 A 考点三根据函数零点个数或存在情况求参数范围 典例 3 2019 年高考浙江 已知 a bR 函数 32 0 11 1 0 32 x x f x xaxax x 若函 数 yf xaxb恰有 3 个零点 则 A a 1 b 0 B a0 C a 1 b 1 b 0 答案 C 解析 当x 0 时 y f x ax b x ax b 1 a x b 0 得 x 则 y f x ax b 最多有一个零点 当 x 0 时 y f x ax bx3 a 1 x2 ax ax bx3 a 1 x
7、2 b 2 1 yxax 当 a 1 0 即 a 1 时 y 0 y f x ax b 在 0 上单调递增 则 y f x ax b 最多有一个零点 不合题意 当 a 1 0 即 a 1 时 令 y 0 得 x a 1 此时函数单调递增 令 y 0 得 x 0 a 1 此时函数单调递减 则函数最多有2 个零点 根据题意 函数y f x ax b 恰有 3 个零点 函数 y f x ax b 在 0 上有一个零点 在 0 上有 2 个零点 如图 0 且 解得 b 0 1 a 0 b a 1 3 则 a 1 b 0 故选 C 方法技巧 解决此类问题通常先对解析式变形 然后在同一坐标系内画出函数的图
8、象 数形结合求 解 变式 3 2018 全国卷 已知函数f x ex x 0 ln x x 0 g x f x x a 若 g x 存在 2 个零点 则a 的取值范围是 A 1 0 B 0 C 1 D 1 答案 C 解析 令h x x a 则 g x f x h x 在同一坐标系中画出y f x y h x 的示意图 如图所 示 若 g x 存在 2 个零点 则y f x 的图象与 y h x 的图象有2 个交点 平移y h x 的图象 可知当直线 y x a 过点 0 1 时 有 2 个交点 此时1 0 a a 1 当 y x a 在 y x 1 上方 即a 1 时 仅有 1 个交点 不符合
9、题意 当y x a 在 y x 1 下方 即 a 1 时 有 2 个交点 符合题意 综上 a的取值范围为 1 故选 C 考点四根据函数零点的范围求参数范围 典例 4 2019 辽宁抚顺一中模拟 若函数 f x m 2 x2 mx 2m 1 的两个零点分别在区 间 1 0 和区间 1 2 内 则 m 的取值范围是 答案 1 4 1 2 解析 依题意 结合函数f x 的图象分析可知m 需满足 m 2 f 1 f 0 0 f 1 f 2 0 即 m 2 m 2 m 2m 1 2m 1 0 m 2 m 2m 1 4 m 2 2m 2m 1 0 解得 1 4 m 1 2 方法技巧 解决此类问题应先判断函
10、数的单调性 再利用零点存在性定理 建立参数所满足的 不等式 解不等式 即得参数的取值范围 变式 4 2019 河北保定一中模拟 设函数 f x x 0 x 1 1 x 1 1 1 x 0 g x f x 4mx m 其中 m 0 若函数 g x 在区间 1 1 上有且仅有一个零点 则实数m 的取值范围是 A 1 1 4 B 1 4 C 1 1 5 D 1 5 答案 C 解析 作出函数y f x 的大致图象 如图所示 函数 g x 的零点个数 函数 y f x 的图象与直线 y 4mx m 的交点个数 直线y 4mx m 过点 1 4 0 当直线 y 4mx m 过点 1 1 时 m 1 5 当
11、直 线 y 4mx m 与曲线 y 1 x 1 1 1 x 0 相切时 设切点为 x0 1 x0 1 1 由 y 1 x 1 2得 切线的斜率为 1 x0 1 2 则 1 x0 1 2 1 x0 1 1 0 x0 1 4 解得 x0 1 2 所以 4m 1 1 2 1 2 4 得 m 1 结合图象可知当m 1 5或 m 1 时 函数 g x 在区间 1 1 上有且仅有一个零点 考点五求函数多个零点 方程根 的和 典例 5 2019 石家庄质量检测 已知 M 是函数 f x 2x 3 8sin x x R 的所有零点之和 则M 的值为 答案 12 解析 将函数f x 2x 3 8sin x 的零
12、点转化为函数h x 2x 3 与 g x 8sin x 图象交点的横坐 标 在同一平面直角坐标系中 画出函数h x 与 g x 的图象 如图 因为函数h x 与 g x 的图象都关于直线 x 3 2对称 两个函数的图象共有 8 个交点 所以函数f x 的所有零点之和M 8 3 2 12 方法技巧 求函数零点的和 求函数的多个零点 或方程的根以及直线y m 与函数图象的多个交点 横坐标 的和时 应考虑函数的性质 尤其是对称性特征 这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称 直 线的对称等 变式 5 2019 浙江诸暨中学模拟 已知函数f x 2x 2 1 x 0 x 2 x 0 g x x2 2x x 0 1 x x 0 则函 数 f g x 的所有零点之和是 答案 1 2 3 解析 由f x 0 得 x 2 或 x 2 由 g x 2 得 x 1 3 由 g x 2 得 x 1 2 所以函 数 f g x 的所有零点之和是 1 2 1 3 1 2 3
