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1、1 2015 2016 学年浙江省杭州市严州中学高三 上 第一次模 拟数学试卷 理科 一 选择题 本大题共8 小题 每小题5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一个选项是符合题目要求的 1 已知集合A x y ln 1 2x B x x 2 x 则 A B A B A 0 B 1 C 0 1 D 0 2 设 a b R 则 a b 是 a b 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 函数 y 2x 1 e x 的图象是 A B C D 4 已知 a b 是空间中两不同直线 是空间中两不同平面 下列命题中正确的是 A 若直线a b
2、 b 则 a B 若平面 a 则 a C 若平面 a b 则 a bD 若 a b a b 则 5 若将函数f x sin2x cos2x 的图象向右平移 个单位 所得图象关于y轴对称 则 的最小正值是 A B C D 6 定义在R 上的奇函数f x 当 x 0 时 f x x 2 2x 则函数 F x f x x 零点 个数为 A 4 B 3 C 1 D 0 7 已知数列 an 满足 a1 1 an 1 an 2 n n N 则 S2015 A 2 2015 1 B 21009 3 C 3 21007 3 D 2 1008 3 8 已知向量满足 则在上的投影长度的取 值范围是 A B C D
3、 2 二 填空题 本大题有7 小题 9 12 每题 6 分 13 15 题每题 4 分 共 36 分 把答案填在 答题卷的相应位置 9 若经过点P 3 0 的直线l 与圆 M x 2 y2 4x 2y 3 0 相切 则圆 M 的圆心坐标 是 半径为 切线在y轴上的截距是 10 设函数f x 则 f f 4 若 f a 1 则 a 11 某空间几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则其体积是cm 3 其侧视 图的面积是cm 2 12 设实数 x y 满足 则动点 P x y 所形成区域的面积为 z x 2 y2 的取值范围是 13 点 P 是双曲线 1 a 0 b 0 上一点 F 是右焦点 且
4、OPF 是 POF 120 的等腰三角形 O 为坐标原点 则双曲线的离心率是 14 函数 f x sin2x 的最大值是 15 已知 x 0 y 0 2x y 1 若 4x 2 y2 m 0 恒成立 则 m 的取值范围是 三 解答题 本大题共5 小题 满分74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 15 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为a b c 已知 a b c 成等比数列 且 求角B 的大小 若b 3 求 ABC 的面积最大值 17 15 分 如图 已知AB 平面 BEC AB CD AB BC 4 BEC 为等边三角形 3 1 若平面ABE 平面 ADE 求
5、 CD 长度 2 求直线AB 与平面 ADE 所成角的取值范围 18 15 分 已知椭圆 离心率 且过点 1 求椭圆方程 2 Rt ABC 以 A 0 b 为直角顶点 边AB BC 与椭圆交于B C 两点 求 ABC 面 积的最大值 19 15 分 函数f x 2ax 2 2bx a b a b R a 0 g x 2ax 2b 1 若时 求 f sin 的最大值 2 设 a 0 时 若对任意 R 都有 f sin 1 恒成立 且g sin 的最大值为2 求 f x 的表达式 20 14 分 各项为正的数列 an 满足 4 1 取 an 1 求证 数列是等比数列 并求其公比 2 取 2 时令
6、记数列 bn 的前 n 项和为 Sn 数列 bn 的前 n 项之积为 Tn 求证 对任意正整数n 2n 1Tn Sn为定值 2015 2016 学年浙江省杭州市严州中学高三 上 第一次模 拟数学试卷 理科 参考答案与试题解析 5 一 选择题 本大题共8 小题 每小题5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一个选项是符合题目要求的 1 C 解答 解 集合A x y ln 1 2x A x 1 2x 0 x x B x x2 x x 0 x 1 A B x x 1 A B x 0 x A B A B 0 1 故选 C 2 D 解答 解 若 a 1 b 2 满足 a b 但 a b 不
7、成立 若 a 2 b 1 满足 a b 但 a b 不成立 即 a b 是 a b 的既不充分也不必要条件 故选 D 3 A 解答 解 令y 2x 1 e x 0 解得 x 函数有唯一的零点 故排除C D 当 x 时 e x 0 所以 y 0 故排除 B 故选 A 4 D 解答 解 若直线a b b 则 a 或 a 故 A 不对 若平面 a 则 a 或 a 故 B 不对 若平面 a b 则 a b 或 a b 是异面直线 故C 不对 根据垂直于同一条直线的两个平面平行 可得D 正确 故选 D 5 C 解答 函数f x sin2x cos2x sin 2x 的图象向右平移 的单位 所得图象是函数
8、y sin 2x 2 图象关于y 轴对称 可得 2 k 即 当 k 1 时 的最小正值是 6 故选 C 6 B 解答 在R 上的奇函数f x 当 x 0 时 f x x2 2x 当 x 0 时 f x f x x 2 2 x x2 2x f x g x x 根据图形可判断 f x 与 g x x 有 3 个交点 即可得出函数F x f x x 零点个数为3 故选 B 7 B 解答 解 a1 1 an 1 an 2n a2 2 当 n 2 时 an an 1 2n 1 2 数列 an 中奇数项 偶数项分别成等比数列 S2015 2 1009 3 故选 B 8 D 解答 设向量的夹角为 13 1
9、12 5 在上的投影 cos cos 故选 D 7 二 填空题 本大题有7 小题 9 12 每题 6 分 13 15 题每题 4 分 共 36 分 把答案填在 答题卷的相应位置 9 2 1 3 解答 解 圆的标准方程为 x 2 2 y 1 2 2 则圆心坐标为 2 1 半径 R 设切线斜率为k 过 P的切线方程为y k x 3 即 kx y 3k 0 则圆心到直线的距离d 平方得 k 2 2k 1 k 1 2 0 解得 k 1 此时切线方程为y x 3 即在 y 轴上的截距为 3 故答案为 10 1 或 解答 函数f x 则 f 4 2 42 1 31 f f 4 f 31 log2 1 31
10、 5 当 a 1时 f a 1 可得 2a2 1 1 解得 a 1 当 a 1 时 f a 1 可得 log2 1 a 1 解得 a 故答案为 5 1 或 11 4 解答 根据三视图得出 该几何体是三棱锥 AB 2 BC 3 DB 5 CD 4 AB 面 BCD BC CD 其体积 S CBD AB 4 BCD 边 BD 的高为 侧视图的面积 2 8 故答案为 4 点评 本题考查了三棱锥的三视图的运用 仔细阅读数据判断恢复直观图 关键是利用好 仔细平面的位置关系求解 属于中档题 12 1 1 5 解答 解 画出满足条件的平面区域 如图示 ABC 为平面区域的面积 S ABC 2 1 1 而 z
11、 x2 y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方 由图象得 A 或 B 到原点的距离最大 C 到原点的距离最小 d最大值 5 d最小值 1 故答案为 1 1 5 13 1 解答 解 由题意可得P在双曲线的左支上 可设P在第二象限 且 OP OF c 即有 P ccos60 csin60 即为 c c 9 代入双曲线方程 可得 1 即为 1 由 e 可得e 2 1 化简可得e4 8e2 4 0 解得 e2 4 2 由 e 1 可得 e 1 故答案为 1 14 解答 f x sin2x sin2x sin2x 2sinxcosx cosx sinx 令 t cosx sinx 则 t t 2 1
12、2sinxcosx 2sinxcosx 1 t2 原函数化为y t2 t 1 t 对称轴方程为t 当 t 时函数有最大值为 故答案为 15 解答 解 4x2 y2 m 0 恒成立 即m 4x 2 y2 恒成立 x 0 y 0 2x y 1 1 2 0 4x2 y2 2x y 2 4xy 1 4xy 4 2 4x2 y2 的最大值为 故答案为 三 解答题 本大题共5 小题 满分74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 解答 解 因为a b c 成等比数列 则b 2 ac 由正弦定理得sin2B sinAsinC 又 所以 因为 sinB 0 则 4 分 因为 B 0 所以 B 或
13、又 b2 ac 则 b a 或 b c 即 b 不是 ABC 的最大边 10 故 7 分 II 由余弦定理b2 a2 c2 2accosB 得 9 a2 c2 ac 2 ac ac 得 ac 9 所以 当 a c 3 时 ABC 的面积最大值为 12 分 17 解答 1 设 CD d 取 BE AE 中点 O F 连结 OC OF 以 O 为原点 OE OC OF 为 x y z 轴建立坐标系 则A 2 0 4 B 2 0 0 可得平面 ABE 的法向量为 设面 ADE 的一个法向量为 则可得 所有 所以 CD 长度为 2 2 由 1 可知 面ADE 的一个法向量 设直线 AB 与面 ADE
14、所 成角为 则 所以 18 解答 解 1 由 即 又 a 2 b2 c2 得 a 3b 把点带入椭圆方程可得 11 所以椭圆方程为 2 不妨设AB 的方程 y kx 1 则 AC 的方程为 由得 1 9k 2 x2 18k x 0 k 用代入 可得 从而有 于是 令 有 当且仅当 19 解答 1 令 sin t 0 1 问题等价于求f t 2at 2 2bt a b 在 t 0 1 的最 大值 a 0 抛物线开口向上 二次函数的对称轴 由二次函数区间的最值可得 2 令 sin t 1 1 则 f t 1 可推得 f 0 1 f 1 1 f 1 1 a 0 g sin max g 1 2 而 g 1 2a 2b 2 而 f 0 b a 1 而 t 1 1 时 f t 1 即 1 f t 1 结合 f 0 1 可知二次函数的顶点坐标为 0 1 b 0 a 1 f x 2x 2 1 20 解答 证明 1 由 an 1 得 12 两边同除可得 解得 an 0 为常数 故数列是等比数列 公比为1 2 当 2 时 得 2an 1 an an 2 又 故 2n 1Tn Sn 2 为定值
