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1、山东省武城县高三数学上学期第四次月考试题 理2015.12.19一、选择题1.已知集合,若,则实数的取值范围是()A.B.C.D.2.已知命题,命题,.则下列命题中为真命题的是()A.B.C.D.3.已知,为同一平面内的四个点,若,则向量等于()A.B.C.D.4.已知定义在上的函数的图象如图所示,则满足的关系是()A. B.C.D.5.已知,分别是中角,的对边,若,则()A.B.C.或D.6.已知,则()A.B.C.D.7.已知函数,则下列说法正确的是()A.若,则B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.的图象向右平移个单位长度后得的图象8.如图所示,积木拼盘由、五块积木组成,若每块积
2、木都要涂一种颜色,且为了体现拼盘的特色,相邻的区域需涂不同的颜色(如:与为相邻区域,与为不相邻区域),现有五种不同的颜色可供挑选,则可组成的不同的积木拼盘的种数是()A.780B.840C.900D.9609.已知点是椭圆上的动点,且与椭圆的四个顶点不重合,、分别是椭圆的左、右焦点,为坐标原点,若点是的平分线上的一点,且,则的取值范围是()A.B.C.D.10.定义区间的长度为,已知函数的定义域与值域都是,则区间取最大长度时实数的值为()A.B.C.1D. 3二、填空题11.已知,则二项式的展开式中常数项为.12.已知变量满足约束条件,则的取值范围为.13.若函数与有相同的最小值,则不等式的解
3、集为.14.设,若,则的最大值为.15.在平面直角坐标系中,定义:一条直线经过一个点,若都是整数,就称该直线为完美直线,这个点叫直线的完美点,若一条直线上没有完美点,就称它为遗憾直线.现有如下几个命题:如果与都是无理数,则直线一定是遗憾直线;“直线是完美直线”的充要条件是“与都是有理数”;存在恰有一个完美点的完美直线;过原点的完美直线经过无穷多个完美点,当且仅当直线经过两个不同的完美点.其中正确的命题是.(写出所有正确命题的编号)三、解答题16.(本小题满分12分)已知向量,函数.(1)求函数在上的最值;(2)若,分别为的内角,的对边,其中为锐角,且,求的面积.17.(本小题满分12分)将四个
4、不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中(每个盒子足够大).(1)求编号为1的盒子为空盒的概率;(2)求空盒的个数的分布列和数学期望.18.(本小题满分12分)已知数列中,其前项和满足.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.19.已知函数,其中.(1)若,求函数的极值;(2)当时,试确定函数的单调区间.20.(本小题满分13分)已知函数(其中),且与在处有相同的切线.(1)求函数的解析式,并讨论在上的最小值;(2)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.21.(本小题满分14分)设动圆与圆外切,且与直线相切.(1)求动圆的圆心的轨迹方程;(2)若曲线与的轨迹关于直
5、线对称,求两曲线围成的封闭图形的面积;(3)在(2)的条件下,过点任作一直线交曲线于、两点,是否存在一直线,使得曲线在、两点处的切线的交点总在此直线上?若存在,求出此直线的方程;若不存在,请说明理由.高三数学月考试题答案一、选择题15ADCDC610CCDAD二、填空题11.4012.13.14.15.三、解答题16.解析:(1).(2分)当时, ,(3分)结合正弦函数的图象知,当,即时,函数取得最小值,且最小值为;当,即时,函数取得最大值,且最大值为1.(5分)所以函数在上的最大值为1,最小值为.(6分)(2)由(1)知.因为,所以,.(8分)由,得,即,解得.(10分)故.(12分)17.
6、 解析:(1)将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,由分步剩法计数原理知共有种放法,设事件A表示“编号为1的盒子为空盒”,则四个乒乓球可以随机放入编号为2,3,4的三个盒子中,共有种放法,故所求概率为.(2)空盒的个数的所有可能取值为0,1,2,3,则,(或),所以的分布列为0123的数学期望为.18.解析:(1)因为,所以,得,所以,所以.(2)由(1)知,所以,设,则,两式相减得,整理得,所以.19.解析:(1)函数的定义域为.令,得,当变化时,和的变化情况如下:00故的单调减区间为,;单调增区间为.所以当时,函数有极小值.(2)因为,所以,所以函数的定义域为
7、,求导,得令,得,当时,当变化时,和的变化情况如下:000故函数的单调减区间为,单调增区间为,.当时,因为(当且仅当时,),所以函数在上单调递增.当时,当变化时,和的变化情况如下:000故函数的单调减区间为,单调增区间为,.综上,当时,的单调减区间为,单调增区间为,;当时,函数在上单调递增;当时,函数的单调减区间为,单调增区间为,.20.解析:(1),.两函数在处有相同的切线,又,.,.(2分),由得,由得,在上单调递增,在上单调递减.(4分)当,即时,在上单调递减,;(5分)当,即时,在上单调递减,在上单调递增,;(6分)当时,在上单调递增,.(7分).(8分)(2)若对任意的,恒成立,即(
8、*)对任意的恒成立.(i)当时,上式化为,显然对任意的实数恒成立.(9分)(ii)当时,(*)式化为,对任意的恒成立.令,则,当时,在上单调递增,此时,.(11分)(iii)当时,(*)式化为,对任意的恒成立.由(ii)知在上单调递增,在上单调递减,此时,.(12分)综上,实数的取值范围为.(13分)21.解析:(1)由题意知,动圆的圆心到定点和定直线的距离相等,所以动圆的圆心的轨迹方程为.(4分)(2)由题意知,曲线的方程为,两曲线的交点为,所以两曲线围成的封闭图形的面积.(7分)(3)显然直线的斜率存在,设直线的方程为,则曲线在、两点处的切线的方程分别为,(9分)由得,由根与系数的关系得,.(10分)得,所以.得,所以,(13分)将代入,可得,所以存在直线,使得曲线在、两点处的切线的交点总在此直线上.(14分)