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1、山东省武城县高三数学(人教版)必修五知识方法回顾(三) Word版(含答案)高一数学必修五知识方法回顾(三)数列(二)一、基础知识1.求数列的前项和的方法(1)公式法(i)等差数列的前项和公式=.(ii)等比数列的前项和公式当时,;当时,=.(2)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3)拆项相消:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩有限项再求和.(4)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(5)倒序相加:把数列正着写和倒着写再相加,例如等差数列前项和公式的推导方法.2.常见的拆项公式(1);(2);(3);(4);(5
2、);(6);(7)若为等差数列,公差为(),则3.常见数列的前项和(1);(2);(3);(4);(5)参考答案:;二、基本方法方法1 错位相减法求和1.一般地,如果数列是等差数列,是等比数列,求数列的前项和时,可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时,应注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“”的表达式.(3)应用等比数列求和公式必须注意公比这一前提条件,如果不能确定公比是否为1,应分两种情况进行讨论,这在以前的高考中经常考查.例1 已知首项都是1的两个数列,满足.(1)令,求数列的
3、通项公式;(2)若,求数列的前项和.方法2 裂项相消法求和1.对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,分式数列的求和多用此法.2.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,有些情况下,裂项时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.例2 正项数列的前项和满足:.(1)求数列的通项;(2)令,数列的前项和为,证明:对于任意的,都有.三、习题归类跟踪1.已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为( )A.B.C.D.2.已知为等差数列,其公差为,且是与的等比中项,为的前项和,则的值为( )A.B
4、.C.D.3.已知数列的通项公式为,是数列的前项和,则( )A.0B.C.D.4.设是数列的前项和,且,则5.已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则6.已知是等差数列,公差,为其前项和,若,成等比数列,则7.已知等差数列满足,且,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)记为数列的前项和,是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.8.为数列的前项和,已知,.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.9.已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且,.(1)求数列与的通项公式;(2)记,证明.10.已知等差数列前三项的和为,前三项的积为8.(1)求等差数列
5、的通项公式;(2)若成等比数列,求数列的前项和.11.数列满足:.(1)求的值;(2)求数列的前项和;12.已知等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前项和.高一数学必修五知识方法回顾(三)数列(二)参考答案例1 解析:(1)因为,(,所以,即.所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列.故.(2)由知,于是数列的前项和.,相减得,所以.例2 解析:(1)由,得.由于是正项数列,所以,.于是,时,.综上,数列的通项.(2)证明:由于,则.所以.三、习题归类跟踪1.A 解析:由及得, ,所以数列的前100项和,故选A.2.D 解析:由题意得,又公差,
6、故选D.3.B解析所以4.答案:解析:,又由,知,是等差数列,且公差为,而,.5. 63 解析:,是方程的两个根且是递增数列,故,故公比,.6. 64 解析:由成等比数列,得,即,解得(舍去),.7.解析(1)设数列的公差为,依题意,成等比数列,故有,化简得,解得或.当时,;当时,从而得数列的通项公式为或.(2)当时,显然,此时不存在正整数,使得成立.当时,.令,即,解得或(舍去)此时存在正整数,使得成立,的最小值为41.综上,当时,不存在满足题意的;当时,存在满足题意的,其最小值为41.8.解析:(1)由,可知.可得,即.由于,可得.又,解得(舍去)或所以是首项为3,公差为2的等差数列,通项
7、公式为.(2)由可知.设数列的前项和为,则9.解析(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.由,得,.由条件,得方程组解得所以.(2)证法一:由(1)得,由,得.而,故,.证法二:数学归纳法(i)当时,故等式成立(ii)假设当时等式成立,即,则当时有:,即,因此时等式也成立.由(i)和(ii),可知对任意,成立10.解析(1)设等差数列的公差为,则,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得或.故或.(2)当时,分别为,不成等比数列;当时,分别为,成等比数列,满足条件.故记数列的前项和为.当时,;当时,;当时,.当时,满足此式综上,11.解析:(1)当时,;当时,解得;当时,解得.(2)当时,由得,所以,经检验,也适合上式,所以()所以数列是以1为首项,为公比的等比数列.所以.12.解析:(1)因为,由题意得,解得,所以.(2)当为偶数时,.当为奇数时,.所以.(或)