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1、山东省武城县高三数学（人教版）必修五知识方法回顾(三) Word版（含答案）高一数学必修五知识方法回顾(三)数列（二）一、基础知识1.求数列的前项和的方法(1)公式法(i)等差数列的前项和公式=.(ii)等比数列的前项和公式当时，；当时，=.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和.(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(5)倒序相加：把数列正着写和倒着写再相加，例如等差数列前项和公式的推导方法.2.常见的拆项公式(1)；(2)；(3)；(4)；(5
2、)；(6)；(7)若为等差数列，公差为()，则3.常见数列的前项和(1)；(2)；(3)；(4)；(5)参考答案：；二、基本方法方法1 错位相减法求和1.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式.(3)应用等比数列求和公式必须注意公比这一前提条件，如果不能确定公比是否为1，应分两种情况进行讨论，这在以前的高考中经常考查.例1 已知首项都是1的两个数列，满足.(1)令，求数列的
3、通项公式；(2)若，求数列的前项和.方法2 裂项相消法求和1.对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式数列的求和多用此法.2.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，有些情况下，裂项时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.例2 正项数列的前项和满足：.(1)求数列的通项；(2)令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有.三、习题归类跟踪1.已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为( )A.B.C.D.2.已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为( )A.B
4、.C.D.3.已知数列的通项公式为，是数列的前项和，则( )A.0B.C.D.4.设是数列的前项和，且，则5.已知等比数列是递增数列，是的前项和，若是方程的两个根，则6.已知是等差数列，公差，为其前项和，若，成等比数列，则7.已知等差数列满足，且，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.8.为数列的前项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.9.已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，.(1)求数列与的通项公式；(2)记，证明.10.已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8.(1)求等差数列
5、的通项公式；(2)若成等比数列，求数列的前项和.11.数列满足：.(1)求的值；(2)求数列的前项和；12.已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.高一数学必修五知识方法回顾(三)数列（二）参考答案例1 解析：(1)因为，(，所以，即.所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.故.(2)由知，于是数列的前项和.，相减得，所以.例2 解析：(1)由，得.由于是正项数列，所以，.于是，时，.综上，数列的通项.(2)证明：由于，则.所以.三、习题归类跟踪1.A 解析：由及得， ，所以数列的前100项和，故选A.2.D 解析：由题意得，又公差，
6、故选D.3.B解析所以4.答案：解析：，又由，知，是等差数列，且公差为，而，.5. 63 解析：，是方程的两个根且是递增数列，故，故公比，.6. 64 解析：由成等比数列，得，即，解得(舍去)，.7.解析（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，故有，化简得，解得或.当时，；当时，从而得数列的通项公式为或.（2）当时，显然，此时不存在正整数，使得成立.当时，.令，即，解得或（舍去）此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.综上，当时，不存在满足题意的；当时，存在满足题意的，其最小值为41.8.解析：（1）由，可知.可得，即.由于，可得.又，解得（舍去）或所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项
7、公式为.（2）由可知.设数列的前项和为，则9.解析（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由，得，.由条件，得方程组解得所以.（2）证法一：由（1）得，由，得.而，故，.证法二：数学归纳法（i）当时，故等式成立（ii）假设当时等式成立，即，则当时有：，即，因此时等式也成立.由（i）和（ii），可知对任意，成立10.解析（1）设等差数列的公差为，则，由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得或.故或.（2）当时，分别为，不成等比数列；当时，分别为，成等比数列，满足条件.故记数列的前项和为.当时，；当时，；当时，.当时，满足此式综上，11.解析：(1)当时，；当时，解得；当时，解得.(2)当时，由得，所以，经检验，也适合上式，所以()所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.所以.12.解析：(1)因为，由题意得，解得，所以.(2)当为偶数时，.当为奇数时，.所以.(或)
