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1、1（5分）（2011新课标文）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x3的零点所在的区间为（）A（，）B（，0）C（0，）D（，）【分析】根据导函数判断函数f（x）=ex+4x3单调递增，运用零点判定定理，判定区间【解答】解：函数f（x）=ex+4x3f（x）=ex+4当x0时，f（x）=ex+40函数f（x）=ex+4x3在（，+）上为f（0）=e03=20f（）=10f（）=2=0f（）f（）0，函数f（x）=ex+4x3的零点所在的区间为（，）故选：A【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题2（5分）（2012新课标文）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的
2、切线方程为y=4x3【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程【解答】解：求导函数，可得y=3lnx+4，当x=1时，y=4，曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y1=4（x1），即y=4x3故答案为：y=4x3【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题3（5分）（2014新课标文）已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）【分析】由题意可得f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可【解答】解：
3、f（x）=ax33x2+1，f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；当a=0时，f（x）=3x2+1有两个零点，不成立；当a0时，f（x）=ax33x2+1在（，0）上有零点，故不成立；当a0时，f（x）=ax33x2+1在（0，+）上有且只有一个零点；故f（x）=ax33x2+1在（，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax33x2+1在（，0）上取得最小值；故f（）=3+10；故a2；综上所述，实数a的取值范围是（，2）；故选：D【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题4（5分）（2016新课标文）若函数f（x）=x
4、sin2x+asinx在（，+）单调递增，则a的取值范围是（）A1，1B1，C，D1，【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f（x）0恒成立，设t=cosx（1t1），即有54t2+3at0，对t讨论，分t=0，0t1，1t0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围【解答】解：函数f（x）=xsin2x+asinx的导数为f（x）=1cos2x+acosx，由题意可得f（x）0恒成立，即为1cos2x+acosx0，即有cos2x+acosx0，设t=cosx（1t1），即有54t2+3at0，当t=0时，不等式显然成立；当0t1时，3a4t，由4t在（0，1递增，可得t
5、=1时，取得最大值1，可得3a1，即a；当1t0时，3a4t，由4t在1，0）递增，可得t=1时，取得最小值1，可得3a1，即a综上可得a的范围是，故选：C【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题5（5分）（2017新课标文）曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为xy+1=0【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可【解答】解：曲线y=x2+，可得y=2x，切线的斜率为：k=21=1切线方程为：y2=x1，即：xy+1=0故答案为：xy+1=0【点评】本题考查切线方程的求法，考查转
6、化思想以及计算能力6（12分）（2011新课标文）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+2y3=0（）求a、b的值；（）证明：当x0，且x1时，f（x）【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式【解答】解：（I）由于直线x+2y3=0的斜率为，且过点（1，1）【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考
7、查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题所以解得a=1，b=1（II）由（I）知f（x）=所以考虑函数，则所以当x1时，h（x）0而h（1）=0，当x（0，1）时，h（x）0可得；当从而当x0且x1时，【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立7（12分）（2012新课标文）设函数f（x）=exax2（）求f（x）的单调区间；（）若a=1，k为整数，且当x0时，（xk）f（x）+x+10，求k的最大值【分析】（）求函数的单调区间，可先求出函数的导
8、数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（xk） f（x）+x+10在x0时成立转化为k（x0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=exax2的定义域是R，f（x）=exa，若a0，则f（x）=exa0，所以函数f（x）=exax2在（，+）上单调递增若a0，则当x（，lna）时，f（x）=exa0；当x（lna，+）时，f（x）=exa0；所以，f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增（II）
9、由于a=1，所以，（xk） f（x）+x+1=（xk） （ex1）+x+1故当x0时，（xk） f（x）+x+10等价于k（x0）令g（x）=，则g（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=exx2在（0，+）上单调递增，而h（1）0，h（2）0，所以h（x）=exx2在（0，+）上存在唯一的零点，故g（x）在（0，+）上存在唯一的零点，设此零点为，则有（1，2）当x（0，）时，g（x）0；当x（，+）时，g（x）0；所以g（x）在（0，+）上的最小值为g（）又由g（）=0，可得e=+2所以g（）=+1（2，3）由于式等价于kg（），故整数k的最大值为2【点评】本题考查利用导数求函数的最值
10、及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错8（12分）（2013新课标文）已知函数f（x）=ex（ax+b）x24x，曲线y=f（x）在点（0，f（0）处切线方程为y=4x+4（）求a，b的值；（）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值【分析】（）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0）处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；（）利用导数的正负，可得f（x）的单
11、调性，从而可求f（x）的极大值【解答】解：（）f（x）=ex（ax+b）x24x，f（x）=ex（ax+a+b）2x4，曲线y=f（x）在点（0，f（0）处切线方程为y=4x+4f（0）=4，f（0）=4b=4，a+b=8a=4，b=4；（）由（）知，f（x）=4ex（x+1）x24x，f（x）=4ex（x+2）2x4=4（x+2）（ex），令f（x）=0，得x=ln2或x=2x（，2）或（ln2，+）时，f（x）0；x（2，ln2）时，f（x）0f（x）的单调增区间是（，2），（ln2，+），单调减区间是（2，ln2）当x=2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（2）=4（1e2）【点评】
12、本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键9（12分）（2014新课标文）设函数f（x）=alnx+x2bx（a1），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x01，使得f（x0），求a的取值范围【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）对a分类讨论：当a时，当a1时，当a1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】解：（1）f（x）=（x0），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为0，f（1）=a+（1a）1b=0，解得b=1（2）函数f（x）的定义域为（0，+），由（1）可知：
13、f（x）=alnx+，=当a时，则，则当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，+）单调递增，存在x01，使得f（x0）的充要条件是，即，解得；当a1时，则，则当x时，f（x）0，函数f（x）在上单调递减；当x时，f（x）0，函数f（x）在上单调递增存在x01，使得f（x0）的充要条件是，而=+，不符合题意，应舍去若a1时，f（1）=，成立综上可得：a的取值范围是【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题10（12分）（2015新课标文）设函数f（x）=e2xalnx（）讨论f（x）的导函数f（x）零点的个数；（）证明：当a0时，f（x）2a+aln【分析】（）先求导，在分类讨论，当a0时，当a0时，根据零点存在定理，即可求出；（）设导函数f（x）在（0，+）上的唯一零点为x0，根据函数f（x）的单调性得到函数的最小值f（x0），只要最小值大于2a+aln，问题得以证明【解答】解：（）f（x）=e2xalnx的定义域为（0，+），f（x）=2e2x当a0时，f（x）0恒成立，故f（x）没有零点，当a0时，y=e2x为单调递增，y=单调递增，f（x）在（0，+）单调递增，又f（a）0，假设存在b满足0b时，且b，f（b）0
