概率论与数理统计课件概率论与数理统计(浙江大学)

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1、概率论与数理统计 54学时开课系信管系教师张艳娥Email zhyane 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科是重要的一个数学分支在生活当中经常会接触到一些现象确定性现象在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象随机现象在一定条件下必然发生的现象在个别实验中其结果呈现出不确定性概率论与数理统计在经济科技教育管理和军事等方面已得到广泛应用课程简介概率论与数理统计已成为高等理工科院校教学计划中一门重要的公共基础课通过本课程的学习使学生掌握处理随机现象的基本理论和方法并且具备一定的分析问题和解决实际问题的能力退出目录前一页后一页

2、课程简介课程主要内容概率论的基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律及中心极限定理样本及抽样分布参数估计假设检验 1随机试验 2样本空间随机事件 3频率与概率 4等可能概型古典概率 5条件概率 6独立性第一章概率论的基本概念退出目录前一页后一页这里试验的含义十分广泛它包括各种各样的科学实验也包括对事物的某一特征的观察第一章概率论的基本概念 1 随机试验 Experiment 1随机试验退出前一页后一页目录退出前一页后一页目录 E1 抛一枚硬币两次观察正面H Heads 反面T Tails 出现的情况 E2 抛一颗骰子

3、观察出现的点数 E3 观察某一时间段通过某一路口的车辆数 E4 观察某一电子元件如灯泡的寿命其典型的例子有 E5 观察某城市居民以户为单位烟酒年支出这些试验具有以下特点第一章概率论的基本概念 3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 2 每次试验的可能结果不止一个并且能事先明确试验的所有可能结果 1 可以在相同的条件下重复进行我们把满足上述三个条件的试验称为随机试验记为E 退出前一页后一页目录一样本空间二随机事件三事件间的关系与运算 2样本空间随机事件第一章概率论的基本概念退出目录前一页后一页 2样本空间随机事件一样本空间 Space 定义将随机试

4、验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间记为S 样本空间的元素即E的每个结果称为样本点也叫基本事件 E1 S1 HH HT TH TT E2 S2 1 2 3 4 5 6 E3 S3 0 1 2 3 E4 S4 t t 0 E5 S5 x y M0 x y M1 第一章概率论的基本概念要求会写出随机试验的样本空间退出前一页后一页目录 2样本空间随机事件退出前一页后一页目录 E4 如果试验是测试某灯泡的寿命则样本点是一非负数由于不能确知寿命的上界所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果 S4 t t 0 故样本空间 2样本空间随机事件退出前一页后一页

5、目录 E5 调查城市居民以户为单位烟酒的年支出结果可以用 x y 表示 x y分别是烟酒年支出的元数也可以按某种标准把支出分为高中低三档这时样本点有高高高中低低等9种样本空间就由这9个样本点构成这时样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成随机事件称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件记作A B C等等基本事件有一个样本点组成的单点集必然事件样本空间S本身不可能事件空集二随机事件我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现第一章概率论的基本概念退出前一页后一页目录 2样本空间随机事件退出前一页

6、后一页目录两个特殊的事件必件然事例如在掷骰子试验中掷出点数小于7 是必然事件即在试验中必定发生的事件即样本空间常用S或表示不件可事能即在一次试验中不可能发生的事件常用表示而掷出点数8 则是不可能事件退出前一页后一页目录事件基本事件复合事件相对于观察目的不可再分解的事件两个或一些基本事件并在一起就构成一个复合事件事件B 掷出奇数点如在掷骰子试验中观察掷出的点数事件Ai 掷出i点 i 1 2 3 4 5 6 例如 S2中第一章概率论的基本概念事件A 2 4 6 表示出现偶数点事件B 1 2 3 4 表示出现的点数不

7、超过4 显然它们都是样本空间的子集退出前一页后一页目录 2样本空间随机事件 1 包含关系三事件间的关系与运算第一章概率论的基本概念如果A发生必导致B发生则 2 相等关系退出前一页后一页目录 2样本空间随机事件 3 和并事件第一章概率论的基本概念事件发生当且仅当A B至少发生一个退出前一页后一页目录 2样本空间随机事件第一章概率论的基本概念 4 积交事件事件发生当且仅当A B同时发生退出前一页后一页目录 2样本空间随机事件第一章概率论的基本概念考察下列事件间的包含关系退出前一页后一页目录 2样本空间随机事件 5 差事件第一章

8、概率论的基本概念发生当且仅当A发生B不发生退出前一页后一页目录 2样本空间随机事件 6 互不相容互斥 7 对立事件逆事件第一章概率论的基本概念请注意互不相容与对立事件的区别退出前一页后一页目录 2样本空间随机事件退出前一页后一页目录互斥与互逆的区别两事件A B互斥两事件A B互逆或互为对立事件即A与B不可能同时发生除要求A B互斥外还要求 A B S 退出前一页后一页目录 n个事件互斥与两两互斥若n个事件A1 A2 An中任意两个事件都互斥则称这n个事件互斥所以若n个事件互斥则其中任意两个事件都互斥退出前一页后一页目录对

9、于一个具体事件要学会用数学符号表示反之对于用数学符号表示的事件要清楚其具体含义是什么也就是说要正确无误地互译出来退出前一页后一页目录例1 从一批产品中任取两件观察合格品的情况记A 两件产品都是合格品若记Bi 取出的第i件是合格品 i 1 2 两件产品中至少有一个是不合格品 A B1B2 问如何用Bi表示A和 A3A4A3A4如图 1 2 两个系统中令Ai表示第i个元件工作正常 Bi表示第i个系统工作正常试用A1 A2 A3 A4表示B1 B2 解 1 B1 A1A2 A3A4 2 B2 A1 A3 A2 A4 EX2 1 A1A2 2 A1A2 第一章概率论

10、的基本概念例2 在S4中事件A t t 1000 表示产品是次品事件B t t 1000 表示产品是合格品事件C t t 1500 表示产品是一级品则表示产品是合格品但不是一级品表示产品是是一级品表示产品是合格品退出前一页后一页目录 2样本空间随机事件 8 随机事件的运算规律幂等律交换律第一章概率论的基本概念结合律分配律 DeMorgan 德摩根定律退出前一页后一页目录退出前一页后一页目录补充常用的关系及习题1 甲乙两人同时向一目标射击一次观察中靶情况设A 甲中 B 乙中问各表示什么事件是否是相等事件 2 一射手向目标射

11、击3发子弹 Ai表示第次射击打中目标 i 1 2 3 试用A1 A2 A3及其运算表示下列事件 1 三发子弹都打中目标 B 2 第一发子弹打中目标而第二第三发子弹都未打中 C 3 三发子弹恰有一发打中目标 D 4 三发子弹至少一发打中目标 E 5 三发子弹至多一发打中目标 F 解 B A1A2A3C A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 2 3D A1 A2 A3 S 1 2 3 A1 1A2 1 2A3E A1 2 3 1A2 3 1 2A3 G A1A2A3 1A2A3 A1 2A3 A1A2 3 A1A2 A2A3 A1A3 F 1 2 1 3 2 3 A1 2 3 1A2 3 1

12、 2A3 1 2 3 第一章概率论的基本概念练习P29 设A B C为三个随机事件用A B C的运算关系表示下列各事件 1 A发生 2 A发生 B与C都不发生 3 A B C都发生 4 A B C至少有一个发生退出前一页后一页目录 2样本空间随机事件第一章概率论的基本概念 5 A B C都不发生 6 A B C不多于一个发生 7 A B C不多于两个发生 8 A B C至少有两个发生退出前一页后一页目录 2样本空间随机事件 3频率与概率一频率的定义和性质定义在相同的条件下进行了n次试验在这n次试验中事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数比值nA n称为事件

13、A发生的频率并记成fn A 第一章概率论的基本概念退出前一页后一页目录第一章概率论的基本概念它具有下述性质 3频率与概率退出前一页后一页目录退出前一页后一页第一章概率论的基本概念目录在充分多次试验中事件的频率总在一个定值附近摆动而且试验次数越多一般来说摆动越小这个性质叫做频率的稳定性请看下面的试验二频率的稳定性 3频率与概率实验者德摩根蒲丰K 皮尔逊K 皮尔逊 nnHfn H 204840401200024000 10612048601912012 0 51810 50960 50160 5005 第一章概率论的基本概念退出前一页后一

14、页目录 3频率与概率退出前一页后一页第一章概率论的基本概念目录 3频率与概率退出前一页后一页第一章概率论的基本概念目录频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小尽管每进行一连串 n次试验所得到的频率可以各不相同但只要n相当大频率与概率是会非常接近的因此概率是可以通过频率来测量的频率是概率的一个近似频率概率 3频率与概率频率稳定值概率事件发生的频繁程度事件发生的可能性的大小频率的性质概率的公理化定义第一章概率论的基本概念退出前一页后一页目录 3频率与概率退出前一页后一页第一章概率论的基本概念目录即通过规定概率应具备的

15、基本性质来定义概率下面介绍用公理给出的概率定义 1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦 3频率与概率三概率的定义定义设E是随机试验 S是它的样本空间对于E的每一个事件A赋予一个实数记为P A 称为事件A的概率要求集合函数P 满足下列条件第一章概率论的基本概念退出前一页后一页目录退出前一页后一页第一章概率论的基本概念目录由概率的三条公理我们可以推导出概率的若干性质下面我们就来给出概率的一些简单性质在说明这些性质时为了便于理解我们常常借助于文氏图 3频率

16、与概率 4 概率的性质与推广第一章概率论的基本概念退出前一页后一页目录 3频率与概率退出前一页后一页第一章概率论的基本概念 2等可能概型目录移项得 6 便得 7 再由由可加性第一章概率论的基本概念退出前一页后一页目录因为 1 P S P A P 3频率与概率性质5在概率的计算上很有用如果正面计算事件A的概率不容易而计算其对立事件的概率较易时可以先计算再计算P A 退出前一页后一页第一章概率论的基本概念目录 3频率与概率退出前一页后一页第一章概率论的基本概念目录又因再由性质3便得 8 3频率与概率第一章概率论的基本概念退出前一页后一页目录 3频率与概率性质9 第一章概率论的基本概念要求熟练掌握概率的性质退出前一页后一页目录 3频率与概率第一章概率论的基本概念退出前一页后一页目录例1 设P A 1 3 P B 1 21 若事件A与B互不相容求P 2 若求P 3 若P AB 1 8 求P 例2 A B是E中两个事件已知P A 0 3 P A B 0 6 求P 3频率与概率第一章概率论

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