郑振龙版金融工程期权定价模型

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1、期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的 它涉及到随机过程等较为复杂的概念 而期权定价又是整个金融工程学科的重要基础 因此 本章内容相当的重要 在知识结构安排上 本章将从证券价格的运动规律讲起 逐步推导出BS期权定价模型 同时 对该模型的实证研究成果进行一定的概况性叙述 6 1 1研究意义了解6 1 2效率市场假说和马尔可夫随机过程熟悉6 1 3布朗运动掌握6 1 4伊藤过程和伊藤引理掌握6 1 5证券价格变化过程掌握6 2布莱克 舒尔斯期权定价模型6 2 1布莱克 舒尔斯微分方程的基本假设熟悉6 2 2布莱克 舒尔斯微分方程的推导掌握6 2 3布莱克 舒尔斯期权定价公式掌握6 2 4布莱克

2、舒尔斯期权定价公式的基本推广熟悉6 3布莱克 舒尔斯期权定价公式的实证研究和应用了解6 3 1布莱克 舒尔斯期权定价公式的实证研究了解6 3 2布莱克 舒尔斯期权定价公式的应用熟悉 6 1证券价格的变化过程 期权是标的资产的衍生工具 其价格波动的来源就是标的资产价格的变化 期权价格受到标的资产价格的影响 因此期权定价使用的是相对定价法 即相对于证券价格的价格 因而要为期权定价首先必须研究证券价格 期权的价值正是来源于签订合约时 未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化 在现实中 资产价格总是随机变化的 需要了解其所遵循的随机过程 研究变量运动的随机过程 可以帮助我们了解在特定时刻 变量

3、取值的概率分布情况 为什么我们要研究证券价格的变化过程 1965年 法玛 Fama 提出了著名的效率市场假说 该假说认为 投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的 证券价格能完全反应全部信息 市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平 而与新信息相应的价格变动是相互独立的 1 弱式效率市场假说认为 证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息 也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益 2 半强式效率市场假说认为 证券价格会迅速 准确地根据可获得的所有公开信息调整 因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面

4、信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券 3 强式效率市场假说认为 不仅是已公布的信息 而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中 因此任何信息 包括 内幕信息 对挑选证券都没有用处 根据众多学者的实证研究 发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说 随机过程 StochasticProcess 是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程 根据时间是否连续和变量取值范围是否连续 随机过程可以做如下的划分 时间的连续性离散时间随机过程连续时间随机过程变量取值范围的连续性离散变量随机过程连续变量随机过程 从严格意义上说 证券价格的变化过程属于离散变量的离散时间随机过程 为了研究方便 我们可以把它

5、近似为连续变量的连续时间的随机过程 随机过程有许多类型 在本课程中 我们将涉及一些符合证券价格变化规律的随机过程 一般认为 弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程 MarkovStochasticProcess 是内在一致的 马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程 在这个过程中 只有变量的当前值才与未来的预测有关 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关 如果证券价格遵循马尔可夫过程 则意味着其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格 这显然和弱式效率市场假说是一致的 布朗运动 BrownianMotion 起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述 对于标准布朗运

6、动来说 设代表一个小的时间间隔长度 代表变量z在时间内的变化 遵循标准布朗运动的具有两种特征 特征1 和的关系满足 其中 代表从标准正态分布 即均值为0 标准差为1 0的正态分布 中取的一个随机值 特征2 对于任何两个不同时间间隔 的值相互独立 当 0时 我们就可以得到极限的标准布朗运动 1 为何定义 而非 当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时 独立的正态分布 期望值和方差具有可加性 而标准差不具有可加性 这样定义可以使方差与时间长度成比例 不受时间划分方法的影响 相应的一个结果就是 标准差的单位变为 2 下面我们来考查符合标准布朗运动的变量z在一段较长时间T中的变化情形 令z

7、T z 0 表示变量z在T中的变化量 显然该变量又可被看作是在N个长度为的小时间间隔中z的变化总量 其中N T t 很显然 这是n个相互独立的正态分布的和 因此 z T z 0 也具有正态分布特征 其均值为0 方差为N t T 标准差 普通布朗运动 若变量x遵循普通布朗运动 其中 1 a和b均为常数 dz遵循标准布朗运动 2 a为漂移率 DriftRate 是指单位时间内变量z均值的变化值 3 b2为方差率 VarianceRate 是指单位时间的方差 普通布朗运动的离差形式为 显然 x也具有正态分布特征 其均值为 标准差为 方差为 1 显然 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程

8、 其中第一项adt为确定项 它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a 第二项bdz是随机项 它表明对x的动态过程添加的噪音 这种噪音是由维纳过程的b倍给出的 2 在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征 其均值为aT 标准差为 方差为b2T 3 标准布朗运动的漂移率a为0 方差率为1 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数 若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数 我们就可以得到 这就是伊藤过程 ItoProcess 其中 dz是一个标准布朗运动 a b是变量x和t的函数 变量x的漂移率为a 方差率为b2 在伊藤过程的基础上 数学家伊藤 K Ito 进一步推导出 若变量x遵循伊藤过

9、程 则变量x和t的函数G将遵循如下过程 其中 dz是一个标准布朗运动 这就是著名的伊藤引理 首先 我们要明确 在研究证券价格变化过程的时候 我们的目标是找到一个合适的随机过程表达式 来尽量准确地描述证券价格的变动过程 同时尽量实现数学处理上的简单性 一般来说 金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率为 S 方差率为S2的伊藤过程来表示 两边同除以S得 该随机过程又可以称为几何布朗运动 其中S表示证券价格 表示证券在瞬间内以连续复利表示的期望收益率 又称预期收益率 表示证券收益率瞬间的方差 表示证券收益率瞬间的标准差 简称证券价格的波动率 Volatility dz表示标准布朗运动 其中 和

10、 的时间度量单位一般都采用年 几何布朗运动的离散形式为 为什么证券价格可以用几何布朗运动表示 1 市场一般认同股票市场符合 弱式效率市场假说 而几何布朗运动的随机项来源于标准布朗运动dz 具有马尔可夫性质 符合弱式效率的假说 2 投资者感兴趣的不是股票价格S 而是独立于价格的收益率 投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长 而是期望股票价格以一定的增长率在增长 因此需要用百分比收益率代替绝对的股票价格 几何布朗运动的离散形式 3 几何布朗运动最终隐含的是 股票价格的连续复利收益率 而不是百分比收益率 为正态分布 股票价格为对数正态分布 这比较符合现实 在短时间后 证券价格比率的变化值为 可见

11、 也具有正态分布特征 其均值为 标准差为 方差为 也就是说其中表示均值为m 标准差为s的正态分布 但是 在一个较长的时间T后 不再具有正态分布的性质 这就是百分比多期收益率的乘积问题 因此 尽管 是短期内股票价格百分比收益率的标准差 但是在任意时间长度T后 这个收益率的标准差却不再是 股票价格的年波动率并不是一年内股票价格百分比收益率变化的标准差 但是 如果我们运用Ito引理来推导证券价格自然对数lnS 设为G 所遵循的随机过程 就可以得到 可以看到 这个随机过程属于普通布朗运动 具有恒定的漂移率和恒定的方差率 在任意时间长度T之后 G的变化仍然服从正态分布 均值为 方差为 标准差仍然可以表示

12、为 和时间长度平方根成正比 从以上分析 我们可以得到两点重要结论 1 几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布 令t时刻G的值为lnS T时刻G的值为lnST 其中S表示t时刻 当前时刻 的证券价格 ST表示T时刻 将来时刻 的证券价格 则在T t期间G的变化为 这意味着 进一步从正态分布的性质可以得到 也就是说 证券价格对数服从正态分布 如果一个变量的自然对数服从正态分布 则称这个变量服从对数正态分布 这表明ST服从对数正态分布 根据对数正态分布的特性 以及符号的定义 我们可以得到和 2 股票价格对数收益率服从正态分布由于dG实际上就是连续复利的对数收益率 因此几何布朗运动实际上意味着对数

13、收益率遵循普通布朗运动 对数收益率的变化服从正态分布 对数收益率的标准差与时间的平方根成比例 1 几何布朗运动中的期望收益率 2 根据资本资产定价原理 取决于该证券的系统性风险 无风险利率水平 以及市场的风险收益偏好 由于后者涉及主观因素 因此其决定本身就较复杂 然而幸运的是 我们将在下文证明 衍生证券的定价与标的资产的预期收益率是无关的 3 较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果 而较短时间内的收益率则是算术平均的结果 1 证券价格的年波动率 又是股票价格对数收益率的年标准差 2 一般从历史的证券价格数据中计算出

14、样本对数收益率的标准差 再对时间标准化 得到年标准差 即为波动率的估计值 在计算中 一般来说时间距离计算时越近越好 时间窗口太长也不好 一般来说采用交易天数计算波动率而不采用日历天数 假设 1 证券价格遵循几何布朗运动 即和为常数 2 允许卖空标的证券 3 有交易费用和税收 所有证券都是完全可分的 4 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 5 存在无风险套利机会 6 证券交易是连续的 价格变动也是连续的 7 衍生证券有效期内 无风险利率r为常数 由于证券价格S遵循几何布朗运动 因此有 其在一个小的时间间隔中 S的变化值为 在一个小的时间间隔中 f的变化值为 设f是依赖于S的衍生证券的价格

15、则f一定是S和t的函数 根据伊藤引理可得 1 从上面分析可以看出 1 和 2 中的相同 都等于 为了消除 可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合 令代表该投资组合的价值 则 3 在时间后 该投资组合的价值变化为 4 将式 1 和 2 代入式 4 可得 5 由于式 5 中不含有 该组合的价值在一个小时间间隔后必定没有风险 因此该组合在中的瞬时收益率一定等于中的无风险收益率 因此 6 把式 3 和 5 代入上式得 化简为 7 这就是著名的布莱克 舒尔斯微分分程 它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价 观察布莱克 舒尔斯微分方程 我们可以发现 受制于主观的风险收益

16、偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中 这意味着 无论风险收益偏好状态如何 都不会对f的值产生影响 因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设 在对衍生证券定价时 所有投资者都是风险中性的 尽管这只是一个人为的假定 但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况 也适用于投资者厌恶风险的所有情况 在风险中性的条件下 所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r 所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值 这就是风险中性定价原理 风险中性定价原理 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元 我们知道在3个月后 该股票价格要么是11元 要么是9元 现在我们要找出一份3个月期协议价格为10 5元的该股票欧式看涨期权的价值 由于欧式期权不会提前执行 其价值取决于3个月后股票的市价 若3个月后该股票价格等于11元 则该期权价值为0 5元 若3个月后该股票价格等于9元 则该期权价值为0 风险中性定价原理的应用 为了找出该期权的价值 我们可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合 若3个月后该股票价格等于11元时 该组合价值等于 11 0 5 元