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1、一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分规定：规定： 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为解解知交线为知交线为解解所围成的立体如图，所围成的立体如图， 所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分规定：规定：如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，球面坐
2、标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为如图，如图，解解补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性奇偶性解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,解解（1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素（2） 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素（3） 对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标三、小结三、小结思考题思考题练练 习习 题题练习题答案练习题答案
