《高中数学 （2.3.2 平面与平面垂直的判定）示范教案 新人教A版必修2（整理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 （2.3.2 平面与平面垂直的判定）示范教案 新人教A版必修2（整理）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学海无涯 2 3 2 2 3 2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 整体设计整体设计 教学分析教学分析 在空间平面与平面之间的位置关系中 垂直是一种非常重要的位置关系 它不仅应用较 多 而且是空间问题平面化的典范 空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的 二 面角是高考中的重点和难点 使学生掌握两个平面互相垂直的判定 提高学生空间想象能力 提高等价转化思想渗透的意识 进一步提高学生分析问题 解决问题的能力 使学生学会多 角度分析 思考问题 培养学生的创新精神 三维目标三维目标 1 探究平面与平面垂直的判定定理 二面角的定义及应用 培养学生的归纳能力 2 掌握平面与平面垂直的判定定理
2、的应用 培养学生的空间想象能力 3 引导学生总结求二面角的方法 培养学生归纳问题的能力 重点难点重点难点 教学重点 平面与平面垂直判定 教学难点 平面与平面垂直判定和求二面角 课时安排课时安排 1 课时 教学过程教学过程 复习复习 两平面的位置关系 1 如果两个平面没有公共点 则两平面平行 若 则 2 如果两个平面有一条公共直线 则两平面相交 若 AB 则 与 相交 两平面平行与相交的图形表示如图 1 图 1 导入新课导入新课 思路思路 1 1 情境导入 为了解决实际问题 人们需要研究两个平面所成的角 修筑水坝时 为了使水坝坚固耐 用必须使水坝面与水平面成适当的角度 发射人造地球卫星时 使卫星
3、轨道平面与地球赤道 平面成一定的角度 为此 我们引入二面角的概念 研究两个平面所成的角 思路思路 2 2 直接导入 前边举过门和墙所在平面的关系 随着门的开启 其所在平面与墙所在平面的相交程度 在变 怎样描述这种变化呢 今天我们一起来探究两个平面所成角问题 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题 二面角的有关概念 画法及表示方法 二面角的平面角的概念 两个平面垂直的定义 用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理 并给出证明 应用面面垂直的判定定理难点在哪里 学海无涯 讨论结果 讨论结果 二面角的有关概念 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫二面
4、角 的棱 这两个半平面叫二面角的面 二面角常用直立式和平卧式两种画法 如图 2 教师和学生共同动手 直立式 平卧式 1 2 图 2 二面角的表示方法 如图 3 中 棱为 AB 面为 的二面角 记作二面角 AB 有时为了方便也可在 内 棱以外的半平面部分 分别取点 P Q 将这个二面角记作 二面角 P AB Q 图 3 如果棱为 l 则这个二面角记作 l 或 PlQ 二面角的平面角的概念 如图 4 在二面角 l 的棱上任取点 O 以 O 为垂足 在半平面 和 内分别作垂直 于棱的射线 OA 和 OB 则射线 OA 和 OB 组成 AOB 图 4 再取棱上另一点 O 在 和 内分别作 l 的垂线
5、O A 和 O B 则它们组成角 A O B 因为 OA O A OB O B 所以 AOB 及 A O B 的两边分别平行且方向相同 即 AOB A O B 从上述结论说明了 按照上述方法作出的角的大小 与角的顶点在棱上的位置无关 由此结果引出二面角的平面角概念 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别 作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 图中的 AOB A O B 都是二面角 l 的平面角 直二面角的定义 二面角的大小可以用它的平面角来度量 二面角的平面角是多少度 就说二面角是多少 度 平面角是直角的二面角叫做直二面角 教室的墙面与地面 一个正方体中每相邻的两个
6、面 课桌的侧面与地面都是互相垂直的 两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似 也是用它们所 成的角为直角来定义 二面角既可以为锐角 也可以为钝角 特殊情形又可以为直角 两个平面互相垂直的定义可表述为 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角 那么这两个平面互相垂直 学海无涯 直二面角的画法 如图 5 图 5 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 两个平面垂直的判定定理符号表述为 AB AB 两个平面垂直的判定定理图形表述为 如图 6 图 6 证明如下 已知 AB AB B AB 求证 分析 分析 要证 需证 和 构成的二面角是
7、直二面角 而要证明一个二面角是直二面 角 需找到其中一个平面角 并证明这个二面角的平面角是直角 证明 证明 设 CD 则由 AB 知 AB CD 共面 AB CD AB CD 垂足为点 B 在平面 内过点 B 作直线 BE CD 则 ABE 是二面角 CD 的平面角 又 AB BE 即二面角 CD 是直二面角 应用面面垂直的判定定理难点在于 在一个平面内找到另一个平面的垂线 即要证面面垂 直转化为证线线垂直 应用示例应用示例 思路思路 1 1 例 1 如图 7 O 在平面 内 AB 是 O 的直径 PA C 为圆周上不同于 A B 的任意 一点 图 7 求证 平面 PAC 平面 PBC 证明
8、证明 设 O 所在平面为 由已知条件 PA BC PA BC C 为圆周上不同于 A B 的任意一点 AB 是 O 的直径 BC AC 又 PA 与 AC 是 PAC 所在平面内的两条相交直线 学海无涯 BC 平面 PAC BC 平面 PBC 平面 PAC 平面 PBC 变式训练变式训练 如图 8 把等腰 Rt ABC 沿斜边 AB 旋转至 ABD 的位置 使 CD AC 图 8 1 求证 平面 ABD 平面 ABC 2 求二面角 CBDA 的余弦值 1 证明 证明 由题设 知 AD CD BD 作 DO 平面 ABC O 为垂足 则 OA OB OC O 是 ABC 的外心 即 AB 的中点
9、 O AB 即 O 平面 ABD OD 平面 ABD 平面 ABD 平面 ABC 2 解解 取 BD 的中点 E 连接 CE OE OC BCD 为正三角形 CE BD 又 BOD 为等腰直角三角形 OE BD OEC 为二面角 CBDA 的平面角 同 1 可证 OC 平面 ABD OC OE COE 为直角三角形 设 BC a 则 CE a 2 3 OE a 2 1 cos OEC 3 3 CE OE 点评点评 欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线 例 2 如图 9 所示 河堤斜面与水平面所成二面角为 60 堤面上有一条直道 CD 它与堤 角的水平线 AB 的夹角为 30 沿
10、这条直道从堤脚向上行走到 10 m 时人升高了多少 精 确到 0 1 m 图 9 解 解 取 CD 上一点 E 设 CE 10 m 过点 E 作直线 AB 所在的水平面的垂线 EG 垂足为 G 则 线段 EG 的长就是所求的高度 在河堤斜面内 作 EF AB 垂足为 F 并连接 FG 则 FG AB 即 EFG 就是河堤斜面与水平面 ABG 所成二面角的平面角 EFG 60 由 此 得 EG EFsin60 CEsin30 sin60 10 2 35 2 3 2 1 4 3 m 学海无涯 答 沿直道行走到 10 m 时人升高约 4 3 m 变式训练变式训练 已知二面角 AB 等于 45 CD
11、D AB CDB 45 求 CD 与平面 所成的角 解 解 如图 10 作 CO 交 于点 O 连接 DO 则 CDO 为 DC 与 所成的角 图 10 过点 O 作 OE AB 于 E 连接 CE 则 CE AB CEO 为二面角 AB 的平面角 即 CEO 45 设 CD a 则 CE a 2 2 CO OE OC OE CO a 2 1 CO DO sin CDO 2 1 CD CO CDO 30 即 DC 与 成 30 角 点评 点评 二面角是本节的另一个重点 作二面角的平面角最常用的方法是 在一个半平面 内找一点 C 作另一个半平面 的垂线 垂足为 O 然后通过垂足 O 作棱 AB
12、的垂线 垂足为 E 连接 AE 则 CEO 为二面角 AB 的平面角 这一过程要求学生熟记 思路思路 2 2 例 1 如图 11 ABCD 是菱形 PA 平面 ABCD PA AD 2 BAD 60 图 11 1 求证 平面 PBD 平面 PAC 2 求点 A 到平面 PBD 的距离 3 求二面角 APBD 的余弦值 1 证明 证明 设 AC 与 BD 交于点 O 连接 PO 底面 ABCD 是菱形 BD AC PA 底面 ABCD BD 平面 ABCD 的 PA BD 又 PA AC A BD 平面 PAC 又 BD 平面 PBD 平面 PBD 平面 PAC 2 解 解 作 AE PO 于点
13、 E 平面 PBD 平面 PAC AE 平面 PBD AE 为点 A 到平面 PBD 的距离 在 PAO 中 PA 2 AO 2 cos30 3 PAO 90 PO 7 22 AOPA AE 7 212 7 32 PO AOPA 学海无涯 点 A 到平面 PBD 的距离为 7 212 3 解 解 作 AF PB 于点 F 连接 EF AE 平面 PBD AE PB PB 平面 AEF PB EF AFE 为二面角 APBD 的平面角 在 Rt AEF 中 AE 7 212 AF 2 sin AFE 7 42 AF AE cos AFE 7 7 7 42 1 2 二面角 APBD 的余弦值为 7
14、 7 变式训练变式训练 如图 12 PA 矩形 ABCD 所在平面 M N 分别是 AB PC 的中点 1 求证 MN 平面 PAD 2 求证 MN CD 3 若二面角 PDCA 45 求证 MN 平面 PDC 图 12 图 13 证明 证明 如图 13 所示 1 取 PD 的中点 Q 连接 AQ NQ 则 QN 2 1 DC AM 2 1 DC QNAM 四边形 AMNQ 是平行四边形 MN AQ 又 MN 平面 PAD AQ 平面 PAD MN 平面 PAD 2 PA 平面 ABCD PA CD 又 CD AD PA AD A CD 平面 PAD 又 AQ 平面 PAD CD AQ 又 A
15、Q MN MN CD 3 由 2 知 CD 平面 PAD CD AD CD PD PDA 是二面角 PDCA 的平面角 PDA 45 又 PA 平面 ABCD PA AD AQ PD 又 MN AQ MN CD 又 MN PD MN 平面 PDC 例 2 如图 14 已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形 且 DAB 60 AD AA1 F 为棱 学海无涯 BB1的中点 M 为线段 AC1的中点 图 14 1 求证 直线 MF 平面 ABCD 2 求证 平面 AFC1 平面 ACC1A1 3 求平面 AFC1与平面 ABCD 所成二面角的大小 1 证明 证明 延长 C1F 交 C
16、B 的延长线于点 N 连接 AN F 是 BB1的中点 F 为 C1N 的中点 B 为 CN 的中点 又 M 是线段 AC1的中点 故 MF AN 又 MF 平面 ABCD AN 平面 ABCD MF 平面 ABCD 2 证明 证明 连接 BD 由直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 可知 AA1 平面 ABCD 又 BD 平面 ABCD A1A BD 四边形 ABCD 为菱形 AC BD 又 AC A1A A AC A1A 平面 ACC1A1 BD 平面 ACC1A1 在四边形 DANB 中 DA BN 且 DA BN 四边形 DANB 为平行四边形 故 NA BD NA 平面 ACC1A1 又 NA 平面 AFC1 平面 AFC1 平面 ACC1A1 3 解 解 由 2 知 BD 平面 ACC1A1 又 AC1 平面 ACC1A1 BD AC1 BD NA AC1 NA 又由 BD AC 可知 NA AC C1AC 就是平面 AFC1与平面 ABCD 所成二面角的平面角或补角 在 Rt C1AC 中 tan C1AC 3 1 1 CA CC 故 C1AC 30 平面 AFC1与平面
