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1、第四章 机织物结构数学模型的建立与实现第四章 机织物结构数学模型的建立与实现本章重点知识点： 1规则组织数学模型的推导过程； 2各种织物组织的数学模型； 3配色模纹图及上机图的数学模型；第一节 机织物结构概述由于设计手段的限制，以前对织物组织结构的认识一直停留意匠图的水平。纺织品设计人员的设计工具仅仅是笔和意匠纸，因此没有必要对纺织品的组织结构进行严格的分析，也无需将它们抽象成一定的数学模型来处理。然而，在科学技术飞速发展的今天，电子计算机技术已经深入到传统的织物结构中来，利用计算机，设计人员只需输入必要的数据，便可以迅速、准确地获得所要求的设计结果和效果。所以，要进行纺织品的计算机辅助设计，
2、必须对织物的组织结构进行分析，从而抽象出其数学模型，使计算机能够“认识”组织结构，帮助设计人员进行设计工作。由此可见，织物结构的数学模型是纺织CAD系统研究的基本问题。织物结构设计主要包括三方面的内容。第一是织物组织，在织物组织这一“王国”里，有无数的组织结构，而且组织本身也是千变万化的，所以这是一个重要的设计内容；第二个方面的内容是配色模纹设计，即利用组织与色纱的不同配合方式而使织物外观产生多种多样的图案效果；第三个是求上机图。上机图是由组织图、穿综图、纹板（链）图组成（有时也包括穿筘图），这三个图之间存在一定的对应关系，知道二个图可求出第三个图。对于织物组织，以前按照组织的复杂程度划分为三
3、原组织、变化组织、联合组织和复杂组织。但是，从计算机辅助设计的角度来看，以上划分就不再合适了。因为现在寻找的是组织点运动规律的共性，而不是其难易程度，看一个例子，如图4-1所示。 （a）平纹组织图 （b）斜纹组织图 （c）芦席斜纹组织图图4-1 组织点运动规律示意图图（b）为斜纹，按以前的划分应为加强斜纹，属于变化组织。但是从数学角度来看，它与图（a）平纹没有根本不同只不过是组织点参数的值不一样，前者为2，后者为1。它们在各自的完整循环中，保持了组织点运动规律不变，飞数不变，而且组织循环纱线数的计算方法也相同。所以完全可用同一个关系来表达它们，另外，斜纹和（c）图中以斜纹为基础组织的芦席斜纹同
4、属于斜纹变化组织，但是显而易见，难以用同一个数学模型来描述它们。在其它组织中，发现也存在同样的问题。所有这些都说明，传统的织物组织划分方法在进行计算机辅助设计时不再合适了。为了便于织物的结构分析和抽象其数学模型，将织物组织重新划分为规则组织、非规则组织和复杂组织三种。所谓规则组织是指在一个完整的组织循环内，组织点运动规律不变、飞数不变的所有单系统组织。它包括平纹、简单斜纹、加强斜纹、复合斜纹等。在计算机辅助设计中，规则组织是其它组织的基础。凡是不属于规则组织的单系统组织均属于非规则组织。复杂组织是指经向或纬向存在两组或两组以上系统纱线的组织，如经二重、纬二重、双层组织等。本章的目的是对织物组织
5、图、配色模纹图和上机图三方面的内容进行归纳、分析，从而解决纺织品计算机辅助设计中的数学模型问题。第二节 规则组织分析及其数学模型根据规则组织的定义得到：组织点运动规律及其飞数可以唯一地决定一个规则组织。一、 规则组织数学模型的建立1. 组织分析及模型建立织物组织图是绘在意匠上的，而且形状又与一个二维矩阵相似。很容易想到利用一个二维的矩阵来描述它。在组织图上，组织点只有两种使用，一种是经组织点，用“”表示，另一种是纬组织点，用“”表示，而且组织图又明确了它由根经纱和根纬纱构成。因此，只要定义一个二维的、由个元素且每个元素为0或1的矩阵，就可以表示出组织规律。设组织矩阵为F，则： （4-1）式中：
6、=0或1；i=1，2，.，；j=1，2，.，；在式（4-1）中规定，当=1时，表示经组织点，=0时，表示纬组织点。例如斜纹可以表示如F=显而易见，这样规定的矩阵与组织图具有一一对应的关系，把式（4-1）称为组织数学模型的一般形式。如果式（4-1）满足飞数f为常数这一条件，则称之为规则组织的数学模型。2矩阵第一列的赋值习惯上，在绘制组织图时，通常先画第一根经纱上的组织点，然后，根据第一根经纱上的组织点，按飞数f的要求绘制其余经纱上的组织点。在计算机辅助设计中，采用同样的顺序，即先为组织矩阵的第一列元素按照一定的规律赋值。织物组织z通常是用几上几下来表示的。即 （4-2）式中：c表示经组织点的连续
7、浮长；d表示纬组织点的连续浮长；m、n一个完整组织循环中出现连续经（纬）组织点的次数。例如组织：，则=3，=1，=2，=2，m=2，n=2。按组织z填画组织中第一根经纱时，填画的顺序是：由下向上先画第个经组织点，然后个纬组织点，再画 个经组织点，个纬组织点，.，最后画个经组织点，个纬组织点。对于给定的组织，可以求出其经纬纱循环数和，在规定组织情况下，有： （4-3）这样就立即得到一个的二维组织矩阵F。F的第一列为：显然，应该按照反序给它赋值，即： （4-4）式中：i=1，2，3，.，；x，y是两个引入作判断用的任意变量，当取时进行赋值时x增1，y不变；取时x不变，y增1。用来说明，显然=8，它
8、们对应组织矩阵的第一列为：当i=1时，-i+1=8，且x=1，y=0，所以=1；当i=2时，-i+1=7，且x=1，y=0，所以=1；当i=3时，-i+1=6，且x=1，y=0，所以=1；当i=4时，-i+1=5，且x=1，y=1，所以=0；当i=5时，-i+1=4，且x=1，y=1，所以=0；当i=6时，-i+1=3，且x=2，y=1，所以=1；当i=7时，-i+1=2，且x=2，y=2，所以=0；当i=8时，-i+1=1，且x=2，y=2，所以=0；这样，赋值以后的组织矩阵第一列成为：式（4-4）解决了组织矩阵第一列的赋值问题。3矩阵其它元素的赋值在组织图上，第一根经纱组织点绘好以后，按照
9、飞数f的值把邻边一根经纱上的对应组织点上移或下移f格即可。飞数为正时向上移，飞数为负时向下移，在矩阵的赋值过程中，按飞数f进行交叉赋值仍是一个好方法，为了解决以后分析时飞数正负值的影响，下面先对飞数f进行讨论。由于组织图具有循环的特点，飞数实际上可以取任意整数，例如对斜纹来说，飞数f=1，5，9，.，4n+1，. (n=0，1，2，.)效果是一样的，为了避免多值性对计算机辅助设计带来的不方便，这里规定： （4-5）同时，为了简化分析，希望寻找一种方法，将负飞数转化为正飞数来处理。先看一个例子：对于斜纹，=3，f的取值范围为1，2。对应的组织图见图4-2。 （a）f=1 （b）f=2 （c）f=
10、 -1 （d）f= -2图4-2 飞数对织物组织的影响比较以上四个组织图，不难看出，f=1与f=2效果一样，f=1与f=2效果一样。对于其它任何组织，可以发现同样的规律。归纳以上规律，于是有： （4-6）式中表示负飞数。上式的实际意义在于表示在组织图上与f的效果是一样的。这样，对于任何满足式（4-5）要求的负飞数，只要经过式（4-6）的转化就可以消除负飞数对作图的影响。图4-3 组织图示例在前面的讨论中，已经给组织矩阵的第一列赋值，并且还将负飞数问题转化成正飞数来处理，所以只要讨论其它对应元素上移情况就能解决整个矩阵中元素的赋值问题。这里要先回忆一下组织图的画法。以为例，并设其飞数f=2，如图
11、4-3所示。在画好第一列以后，第二列的组织点向上顺次移动二格。显然，这样移动的结果是使两个纬组织点从上方超出了意匠格子，三个经组织点则顺序上移。同样第三根经纱上的组织点是相对于第二根经纱上的组织点上移两格，结果是两个经组织点越格，一个经组织点和两个纬组织点顺序上移，第四、五根经纱上的组织点的画法情况相同。在组织图上，对于超格情况的处理方法是超出几格，回到下方在上移几格。 基于以上分析，组织矩阵中的当前元素为。那么它的值应为： （4-7）式中：i=1，2，.，；j=2，3，.，。利用式（4-7），可以为组织矩阵F除第一列以外的所有元素赋值，从而整个解决了F的赋值问题。现在以，f=2为例来说明以上
12、的数组矩阵的赋值过程。对于该组织，有：那么它所对应的组织矩阵为：对于第一列，进行反序赋值，先，后，根据式（4-4），有：此时，F变为：F矩阵中其它元素的赋值，应按式（4-7）进行。所以再按式（4-7），有：因此，所对应的矩阵为：有了式（4-1）、（4-4）和（4-7），就把组织图这一二维图形用矩阵这一数学模型表达出来，使得计算机能够直接认识组织图，从而解决了规则组织计算机辅助设计的基本问题。规则组织的程序流程图如图4-4所示。YN开始0| f |-1输入基础组织z求出，f 0f = + f将z输入矩阵第一列按f产生其余列元素显 示结束输入飞数f图4-4 规则组织的程序流程图二、规则组织的衍生组
13、织得到组织矩阵F以后，对其进行适当的运算和转变，可以获得规则组织的一些衍生组织，按纵向对称并且并列，形成的新矩阵对应经山形组织，按纬向对称并且并列，形成的新矩阵对应纬山形组织，组织矩阵取反后再并列成可得到经、纬破斜。按矩阵的分块原理使用以上的变化单元可以得到方块组织和菱形组织。多个矩阵相加，可以获得满意的绉组织。另外，也可以单独对矩阵进行旋转，取反等处理。由于组织本身的多样性，就产生了众多的衍生组织，这都是采用了数学模型的方便之处，下面对经山形、纬山形、经破斜、纬破斜及菱形斜纹的数学模型进行介绍。1经山形组织的数学模型 图4-5 经山形组织图经山形组织的组织参数除了基础组织z、飞数f以外，还需
14、要一个说明斜纹方向发生改变的位置，如图4-5所示，斜纹方向在第根经纱发生改变，左侧是右斜纹，右侧是左斜纹，于是在处形成山峰，故名山形斜纹。经山形斜纹组织在（图4-5中=8）根经纱之前与规则组织赋值相同，根之后只是斜纹方向发生改变，即飞数发生改变。因此经山形组织的数学模型为：（1）经、纬纱循环数、的计算 （4-8）（2）对第一列进行赋值，采用前面的式（4-4） （4-4）式中：i=1，2，3，.，；（3）对2列进行赋值仍然采用前面的式（4-7）： （4-7）式中：i=1，2，.，；j=2，3，.，（4）对+1列进行赋值，由于这部分的斜纹方向与前半部分相反，只需按公式（4-9）对飞数先取反，再由负飞数变正飞数，相邻两列之间的关系仍按公式（4-7）进行计算。 （4-9） 图4-6 纬山形组织图2纬山形组织的数学模型纬山形与经山形组织不同的是山峰的指向为纬纱方向，所以叫纬山形。如图4-6所示。纬山形斜纹方向在第根纬纱发生改变，它的赋值方法是从最下面的第一个纬纱开始，即组织矩阵中的第行，从左向右。所以纬纱形组织的数学模型为：（1）经、纬纱循环数、的计算公式如式（4-1
